矩阵取数游戏【NOIP】

题目描述 Description

【问题描述】
帅帅经常跟同学玩一个矩阵取数游戏：对于一个给定的n*m 的矩阵，矩阵中的每个元素aij均
为非负整数。游戏规则如下：
1. 每次取数时须从每行各取走一个元素，共n个。m次后取完矩阵所有元素；
2. 每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾；
3. 每次取数都有一个得分值，为每行取数的得分之和，每行取数的得分= 被取走的元素值*2i，
其中i 表示第i 次取数（从1 开始编号）；
4. 游戏结束总得分为m次取数得分之和。
帅帅想请你帮忙写一个程序，对于任意矩阵，可以求出取数后的最大得分。

输入描述 Input Description

第1行为两个用空格隔开的整数n和m。
第2~n+1 行为n*m矩阵，其中每行有m个用单个空格隔开的非负整数。

输出描述 Output Description

输出 仅包含1 行，为一个整数，即输入矩阵取数后的最大得分。

样例输入 Sample Input

2 3
1 2 3
3 4 2

样例输出 Sample Output

82

数据范围及提示 Data Size & Hint

样例解释

第 1 次：第1 行取行首元素，第2 行取行尾元素，本次得分为1*21+2*21=6
第2 次：两行均取行首元素，本次得分为2*22+3*22=20
第3 次：得分为3*23+4*23=56。总得分为6+20+56=82

 

【限制】
60%的数据满足：1<=n, m<=30, 答案不超过1016
100%的数据满足：1<=n, m<=80, 0<=aij<=1000

---

思路：

似乎是个区间DP，虽然给的是个矩阵，但我们一行一行取，不影响结果

很显然，以区间长度作为DP对象，把一整长序列一小段一小段拆解，在逐渐合并结果，以局部最优推导全局最优。有点类似于归并排序的分治思想

我们每选取一个数，相当于整个区间自带了一个 x2 buff ，就不需要管他是第几次取的

但这道题麻烦不在于DP方程，而在于高精度

60：long long code

#include<stdio.h> 
#include<string.h>
#include<algorithm> 
#define ll long long 
using namespace std;
ll ans,game[110][110],f[110][110];;
int n,m;

inline int read() {
    int s=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9') {
        if(ch=='-') f=-1;
        ch=getchar();
    } 
    while(ch>='0' && ch<='9') s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
    return s*f;
} 

void Sol(ll a[]) 
{
    memset(f,0,sizeof(f));
    for(int len=0;len<m;++len) {
        for(int i=1;i+len<=m;++i) {
            f[i][i+len]=max(2*f[i+1][i+len]+2*a[i],2*f[i][i+len-1]+2*a[i+len]); 
        }
    }
    ans+=f[1][m];
}

int main() 
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;++i) {
        for(int j=1;j<=m;++j) {
            game[i][j]=read();
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;++i) Sol(game[i]);
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}
/*
2 3
1 2 3
3 4 2
*/

AC：int128 偷懒写法 >:<（NOIP不让用哦）

#include<stdio.h> 
#include<string.h>
#include<algorithm> 
#define bll __int128
using namespace std;
bll ans,game[110][110],f[110][110];
int n,m;

inline int read() {
    int s=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9') {
        if(ch=='-') f=-1;
        ch=getchar();
    } 
    while(ch>='0' && ch<='9') s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
    return s*f;
} 

void Sol(bll a[]) 
{
    memset(f,0,sizeof(f));
    for(int len=0;len<m;++len) {
        for(int i=1;i+len<=m;++i) {
            f[i][i+len]=max(2*f[i+1][i+len]+2*a[i],2*f[i][i+len-1]+2*a[i+len]); 
        }
    }
    ans+=f[1][m];
}

void print(bll x) {
    if(!x) return ;
    if(x) print(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}

int main() 
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;++i) {
        for(int j=1;j<=m;++j) {
            game[i][j]=read();
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;++i) Sol(game[i]);
    if(!ans) printf("0");
    else print(ans); 
    return 0;
}
/*
2 3
1 2 3
3 4 2
*/