POJ 3046 Ant Counting ( 多重集组合数 && 经典DP )

题意 : 有 n 种蚂蚁，第 i 种蚂蚁有a_i个，一共有 A 个蚂蚁。不同类别的蚂蚁可以相互区分，但同种类别的蚂蚁不能相互区别。从这些蚂蚁中分别取出S，S+1...B个，一共有多少种取法。

分析 : 

实际就是要解决 => 从 n 种物品中取出 m 个有多少种取法 ( 同种无法区分 )

计数问题的 DP 定义必须保证不重复计数

这里定义 dp[i+1][j] => 从前 i 种物品中取出 j 个的组合数

根据定义为了从前 i 种物品中取出 j 个，可以从前 i-1 中取出 j-k 个并从 i 种中取出 k 个

即 dp[i+1][j] = ∑dp[i][j-k] 【 0 ≤ k ≤ min(j, ant[i]) 】

但是这个递推式的求和太耗时间，实际可以优化，考虑两种情况 j ≤ ant[i] 和 j > ant[i]

① j ≤ ant[i] ( 即 j-1 < ant[i] )

此时 ∑ 的上界 min( j, ant[i] ) = j ，将式子展开有 dp[i][0]+dp[i][1]+dp[i][2]...dp[i][j] ( k 从大到小枚举 )

将展开式的 dp[i][j] 取出来那么将得到 ∑dp[i][j-1-k] 【 0 ≤ k ≤ j-1 】( 其实这个就是 dp[i+1][j-1] !!! )

那么最后 dp[i+1][j] = dp[i+1][j-1] + dp[i][j]

② j > ant[i]

此时 ∑ 的上界 min( j, ant[i] ) = ant[i]，将式子展开有 dp[i][j-ant[i]]+dp[i][j-ant[i]+1]...dp[i][j]

对比 ① 的结果，很明显如果用 ① 的结果 - dp[i][j-ant[i]-1] 就能得到上面的展开式了！

所以 ② 的情况下，dp[i+1][j] = ( dp[i+1][j-1] + dp[i][j] ) - dp[i][j-ant[i]-1]

#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;
const int mod = 1000000;
int dp[1010][100010];
int num[1010];
int main(void)
{
    int T, A, S, B;
    while(~scanf("%d %d %d %d", &T, &A, &S, &B)){

        memset(num, 0, sizeof(num));
        for(int temp,i=1; i<=A; i++)
            scanf("%d", &temp),
            num[temp-1]++;

        for(int i=0; i<=T; i++)
            dp[i][0] = 1;

        for(int i=0; i<T; i++){
            for(int j=1; j<=B; j++){
                if(j - 1 - num[i] >= 0)
                    dp[i+1][j] = (dp[i+1][j-1] + dp[i][j] - dp[i][j-1-num[i]] + mod)%mod;
                else
                    dp[i+1][j] = (dp[i+1][j-1] + dp[i][j])%mod;
            }
        }

        int ans = 0;
        for(int i=S; i<=B; i++)
            ans = (ans + dp[T][i])%mod;
        printf("%d
", ans);
    }
    return 0;
}

其实 DP 的阶段 ( 数组第一维 ) 只跟前一个有关系，故用滚动数组优化

#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;
const int mod = 1000000;
int dp[2][100010];
int num[1010];
int main(void)
{
    int T, A, S, B;
    while(~scanf("%d %d %d %d", &T, &A, &S, &B)){

        memset(num, 0, sizeof(num));
        for(int temp,i=1; i<=A; i++)
            scanf("%d", &temp),
            num[temp-1]++;


        int idx = 0;
        dp[idx][0] = dp[idx^1][0] = 1;
        for(int i=0; i<T; i++,idx^=1){
            for(int j=1; j<=B; j++){
                if(j - 1 - num[i] >= 0)
                    dp[idx^1][j] = (dp[idx^1][j-1] + dp[idx][j] - dp[idx][j-1-num[i]] + mod)%mod;
                else
                    dp[idx^1][j] = (dp[idx^1][j-1] + dp[idx][j])%mod;
            }
        }

        int ans = 0;
        for(int i=S; i<=B; i++)
            ans = (ans + dp[idx][i])%mod;
        printf("%d
", ans);
    }
    return 0;
}