Codeforces 912E Prime Gift ( 二分 && 折半枚举 && 双指针技巧)

题意 : 给你 N ( 1 ≤ N ≤ 16 ) 个质数，然后问你由这些质数作为因子的数 ( 此数不超 10^18 ) & ( 不一定需要其因子包含所给的所有质数 ) 的第 k 个是什么

分析 : 

由于各项的数据范围都太过于大，所以考虑从比较小的 N 入手

由于 N 比较小，所以可以先到是否能折半枚举，先将质数分成两个集合

然后分别处理出两个集合的所有不超过 10^18 次方的以集合内的数作为因子的数（DFS可以构造）

最后这些数的个数貌似是可以接受的，至于证明貌似出题人也在题解评论下面说可以暴力跑一下看看 ( 误

分成两个集合处理完之后将两个集合排序，接下来的工作就是上下界分别为 0 和 10^18 去二分答案

二分的判断函数需要做到==>给出一个数，然后判断在两个有序数组元素两两乘积里面排第几

这里可以用一个双指针技巧 O(N) 地做到

先从大到小枚举其中一个集合，那么 (当前二分数) / (第一集合的数) 这个商是越来越大的

而当满足 (第二集合的数) ≤ (当前二分数) / (第一集合的数) 那么说明有一个乘积在当前二分数的后面

由于不等式右边是逐渐增大的，所以只要我们从小到达枚举第二集合的数，即可下次不必从头开始判断

因此是 O(N) 的，可能需要看一下代码有助于理解。

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
const LL INF = 1e18;
vector<long long> vet[2];
int N, num[20];
LL K;

///DFS构造以集合内质数为因子的数，注意DFS的写法，可以做到不重复
void DFS(int L, int R, LL val, const int idx)
{
    vet[idx].push_back(val);
    for(int i=L; i<=R; i++)
        if(INF / (LL)num[i] >= val)
            DFS(i, R, val*(LL)num[i], idx);
}

LL Order(LL NUM)
{
    int j = 0;
    LL cnt = 0;
    for(int i=vet[0].size()-1; i>=0; i--){///双指针技巧
        while(j < vet[1].size() &&
              vet[1][j] <= NUM / vet[0][i])///不等式右边是逐渐变大的
                j++;
        cnt += j;
    }
    return cnt;
}

int main(void)
{
    scanf("%d", &N);
    for(int i=1; i<=N; i++)
        scanf("%d", &num[i]);
    scanf("%I64d", &K);

    sort(num+1, num+1+N);
    for(int i=1,j=N; i<j; i+=2,j-=2)
        swap(num[i], num[j]);

    DFS(1, min(6, N), 1, 0);
    DFS(min(6, N)+1, N, 1, 1);

    sort(vet[0].begin(), vet[0].end());
    sort(vet[1].begin(), vet[1].end());

    LL L = 0, R = INF, mid, ans;
    while(L <= R){
        mid = L + ((R - L)>>1);
        if(Order(mid) < K) L = mid + 1;
        else R = mid - 1;
    }

    return !printf("%I64d
", R + 1);
}