2018.8.21 2018暑假集训之方格取数

又是一个比较老的题@_@

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题目描述

设有 N×N 的方格图 (N≤9) ，我们将其中的某些方格中填入正整数，而其他的方格中则放入数字 0 。如下图所示（见样例）:

A
0  0  0  0  0  0  0  0
0  0 13  0  0  6  0  0
0  0  0  0  7  0  0  0
0  0  0 14  0  0  0  0
0 21  0  0  0  4  0  0
0  0 15  0  0  0  0  0
0 14  0  0  0  0  0  0
0  0  0  0  0  0  0  0
                            B

某人从图的左上角的 A点出发，可以向下行走，也可以向右走，直到到达右下角的 B点。在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字 0）。
此人从 A点到 B 点共走两次，试找出 2条这样的路径，使得取得的数之和为最大。

输入输出格式

输入格式：

输入的第一行为一个整数 N （表示 N×N 的方格图），接下来的每行有三个整数，前两个表示位置，第三个数为该位置上所放的数。一行单独的 0 表示输入结束。

输出格式：

只需输出一个整数，表示 2 条路径上取得的最大的和。

输入输出样例

输入样例#1：

8
2 3 13
2 6  6
3 5  7
4 4 14
5 2 21
5 6  4
6 3 15
7 2 14
0 0  0

输出样例#1：

67

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本题为NOIP2003 提高组第4题
看一下数据范围显然不可以dfs所以考虑用dp
本身是一个基本的从上方、右侧两个点转移的问题（dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+map[i][j])
然而现在有一个问题就是如何解决两个人的走法

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本人最开始考虑走两次
然而受dp性质的影响走完之后每个点都会变成0
现在有三种想法
比较快的SPFA
网络流费用流
更高维度的dp
（为什么能够想到四维的dp？？
受dp本身性质的影响dp各维度之间除转移之外各个状态是不会互相影响的
于是可以同时考虑两条路线）
然而我是不会告诉你我前两个都不会的
这样我们就得到了转移方程
dp[i][j][k][l]=max(max(dp[i-1][j][k-1][l],dp[i-1][j][k][l-1]),max(dp[i][j-1][k][l-1],dp[i][j-1][k-1][l]))+map[i][j]+map[k][l];
(当然要判断i==k&&j==l的情况）
上代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,x,y,val,ans=0,maxn,dp[12][12][12][12],map1[12][12];//a[i][j][k][l]表示两个人同时走，一个走i,j 一个走k,l 
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    while(1)
    {
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&val);
        if(x==0&&y==0&&val==0)break;
        map1[x][y]=val;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            for(int k=1;k<=n;k++)
            {
                for(int l=1;l<=n;l++)
                {
                    dp[i][j][k][l]=max(dp[i-1][j][k-1][l],max(dp[i][j-1][k-1][l],max(dp[i-1][j][k][l-1],dp[i][j-1][k][l-1])))+map1[i][j]+map1[k][l];
                    if(i==k&&j==l)dp[i][j][k][l]-=map1[i][j];
                }
            }
        }
    }
    printf("%d
",dp[n][n][n][n]);
    return 0;
}

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对于这个题是一道很典型的dp（把每个点当作背包的物品）

大家可以用来学习dp的表示、转移等

重点在于理解dp的并行性质