HDU 5044(2014 ACM-ICPC上海网络赛)

题意：给定一个树形图，节点10^5，有两种操作，一种是把某两点间路径（路径必定唯一）上所有点的权值增加一个固定值。

另一种也是相同操作，不同的是给边加权值。操作次数10^5。求操作过后，每个点和每条边的权值。

分析：此题时间卡得非常紧，最好用输入外挂，最好不要用RMQ来求解LCA。

此题是典型的在线LCA问题，先讲讲在线LCA要怎么做。

在线LCA有两种方法，第一种比较常见，即将其转化成RMQ问题。

先对树形图进行深度优先遍历，遍历过程记录路线中点的途经序列，每个非叶子节点会在序列中出现多次，从一个节点A的一个子节点回到A点再走另一个子节点的时候要再次加A加入序列。

记录序列的同时还要记录序列中每个点在树中对应的深度。以及在序列中第一次出现的位置（其实不一定非要第一个才行），主要用于根据点标号查找其在序列中对应的下标。

此时，LCA已经转化为RMQ，如果要求a,b的LCA，只需要找到a,b在遍历序列中分别对应的位置，并在深度序列中查找以这两点为端点的区间内的最小值即可。这个最小值在遍历序列中对应的点就是他们的LCA。

这种方法预处理O(NlogN)，查询是O(1)。

模板如下：

//first call init_LCA(root).
//then call LCA(a, b) to quest the LCA of a and b.
//the graph can be both bidirected or unidirected.
#define MAX_NODE_NUM 0
#define MAX_EDGE_NUM 0
#define M 30

struct Edge
{
    int v, next, id;
    Edge()
    {}
    Edge(int v, int next, int id):v(v), next(next), id(id)
    {}
} edge[MAX_EDGE_NUM];

int head[MAX_NODE_NUM];
int edge_cnt;

void init_edge()
{
    memset(head, -1, sizeof(head));
    edge_cnt = 0;
}

void add_edge(int u, int v, int id)
{
    edge[edge_cnt] = Edge(v, head[u], id);
    head[u] = edge_cnt++;
}

bool vis[MAX_NODE_NUM];
int father[MAX_NODE_NUM];
int power[M];
int st[MAX_NODE_NUM * 2][M];
int ln[MAX_NODE_NUM * 2];
int seq_cnt;
int seq[2*MAX_NODE_NUM];
int depth[2*MAX_NODE_NUM];
int first_appearance[MAX_NODE_NUM];

//returns the index of the first minimum value in [x, y]
void init_RMQ(int f[], int n)
{
    int i, j;
    for (power[0] = 1, i = 1; i < 21; i++)
    {
        power[i] = 2 * power[i - 1];
    }
    for (i = 0; i < n; i++)
    {
        st[i][0] = i;
    }
    ln[0] = -1;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        ln[i] = ln[i >> 1] + 1;
    }
    for (j = 1; j < ln[n]; j++)
    {
        for (i = 0; i < n; i++)
        {
            if (i + power[j - 1] - 1 >= n)
            {
                break;
            }
            //for maximum, change ">" to "<"
            //for the last, change "<" or ">" to "<=" or ">="
            if (f[st[i][j - 1]] > f[st[i + power[j - 1]][j - 1]])
            {
                st[i][j] = st[i + power[j - 1]][j - 1];
            }
            else
            {
                st[i][j] = st[i][j - 1];
            }
        }
    }
}

int query(int x, int y)
{
    if(x > y)
    {
        swap(x, y);
    }
    int k = ln[y - x + 1];
    //for maximum, change ">" to "<"
    //for the last, change "<" or ">" to "<=" or ">="
    if (depth[st[x][k]] > depth[st[y - power[k] + 1][k]])
        return st[y - power[k] + 1][k];
    return st[x][k];
}


void dfs(int u ,int current_depth)
{
    vis[u] = true;
    first_appearance[u] = seq_cnt;
    depth[seq_cnt] = current_depth;
    seq[seq_cnt++] = u;
    for(int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next)
    {
        int v = edge[i].v;
        if (vis[v])
        {
            continue;
        }
        father[v] = u;
        if (!vis[v])
        {
            dfs(v, current_depth + 1);
            depth[seq_cnt] = current_depth;
            seq[seq_cnt++] = u;
        }
    }
}

void init_LCA(int root)
{
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    father[root] = -1;
    seq_cnt = 0;
    dfs(root, 0);
    init_RMQ(depth, seq_cnt);
}

//O(1)
int LCA(int u ,int v)
{
    int x = first_appearance[u];
    int y = first_appearance[v];
    int res = query(x, y);
    return seq[res];
}

另一种方法用到了DP的思想。

用一个数组f[i][j]表示i点在树中到根节点的序列中距离i边数为2^j的点。

那么f[i][j] = f[ f[i][j - 1] ][j - 1]。

具体做法是，我们进行BFS，记录每个点的父节点，即f[i][0]。和每个点的深度。

然后根据状态转移公式填充整个数组。

在查询时，先看a,b两点谁的深度大，利用两者深度差的二进制序列，配合f数组，找到较深的点在较浅的点那层的祖先。

然后继续使用f数组，每次向上探测2^i的距离的点两者的祖先是否为同一个，如果不是则i++后继续叠加向上探测2^i，如果是同一个则i--后重新探测。直到找到最小的公共祖先为止。

这种方法预处理O(NlogN)，查询是O(NlogN)。但与上一种方法相比，不需要dfs，而用bfs，这样可以节省很多时间。

模板如下：

#define MAX_NODE_NUM 0
#define MAX_EDGE_NUM 0
#define MAX_Q_LEN MAX_NODE_NUM
#define M 30

struct Edge
{
    int v, next, id;
    Edge()
    {}
    Edge(int v, int next, int id):v(v), next(next), id(id)
    {}
} edge[MAX_EDGE_NUM];

int head[MAX_NODE_NUM];
int edge_cnt;

void init_edge()
{
    memset(head, -1, sizeof(head));
    edge_cnt = 0;
}

void add_edge(int u, int v, int id)
{
    edge[edge_cnt] = Edge(v, head[u], id);
    head[u] = edge_cnt++;
}

bool vis[MAX_NODE_NUM];
int father[MAX_NODE_NUM][M];
int depth[MAX_NODE_NUM];

template<typename T>
class queue
{
    T data[MAX_Q_LEN];
    int head, rear;

public:
    queue()
    {
        head = rear = 0;
    }

    bool empty()
    {
        return head == rear;
    }

    void pop()
    {
        head++;
        if (head >= MAX_Q_LEN)
            head = 0;
    }

    void push(T a)
    {
        data[rear++] = a;
        if (rear >= MAX_Q_LEN)
            rear = 0;
    }

    T front()
    {
        return data[head];
    }
};

void bfs(int root)
{
    queue<int> q;
    q.push(root);
    seq2_cnt = 0;
    while (!q.empty())
    {
        int u = q.front();
        q.pop();
        vis[u] = true;
        seq2[seq2_cnt++] = u;
        for (int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next)
        {
            int v = edge[i].v;
            if (vis[v])
            {
                continue;
            }
            father[v][0] = u;
            depth[v] = depth[u] + 1;
            q.push(v);
        }
    }
}

//index start from 1.
void init_LCA(int root)
{
    fill_n(vis, node_num + 1, 0);
    memset(father, 0, sizeof(father));
    bfs(root);
    bool did;
    for (int i = 1; i < M; i++)
    {
        did = false;
        for (int j = 1; j <= node_num; j++)
        {
            int k = father[j][i - 1];
            if (k <= 0)
            {
                continue;
            }
            father[j][i] = father[k][i - 1];
            did = true;
        }
        if (!did)
        {
            break;
        }
    }
}

//O(log(n))
int LCA(int x, int y)
{
    if (depth[x] > depth[y])
    {
        swap(x, y);
    }
    int diff = depth[y] - depth[x];
    for (int i = 0; i < M && diff; i++)
    {
        if (diff & 1)
        {
            y = father[y][i];
        }
        diff >>= 1;
    }
    if (x == y)
    {
        return x;
    }
    int exp = 0;
    while (x != y)
    {
        if (!exp || father[x][exp] != father[y][exp])
        {
            x = father[x][exp];
            y = father[y][exp];
            exp++;
        }else
        {
            exp--;
        }
    }
    return x;
}

再说说这题是怎么做的。將种操作进行一下转化，认为每次加权操作都是分别向由两点到他们的LCA的路径加权。

还可以进行进一步的转化设a，b为要加权的路径两端点，他们的LCA为c，根节点为root。

那么该加权操作可转化为由a和b到root分别加权，再由c到root加两倍的负权。这样正负抵消后与原操作等价。

这样转化之后，所有的操作都便成了到根节点的操作，那么只需要將所有的操作标记在非根节点的另一个点上，然后自底向上把操作树中的每个点，將该点的子节点中的权值操作向上传递即可。

本题不可以使用第一种方法，会超时，可能是dfs太耗时。用第二种方法虽然查询时间稍慢，但是通过了。

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;

#define MAX_NODE_NUM 100005
#define MAX_EDGE_NUM MAX_NODE_NUM * 2
#define MAX_Q_LEN MAX_NODE_NUM
#define M 30
#define D(x) 

struct Edge
{
    int v, next, id;
    Edge()
    {}
    Edge(int v, int next, int id):v(v), next(next), id(id)
    {}
} edge[MAX_EDGE_NUM];

int head[MAX_NODE_NUM];
int edge_cnt;

void init_edge()
{
    memset(head, -1, sizeof(head));
    edge_cnt = 0;
}

void add_edge(int u, int v, int id)
{
    edge[edge_cnt] = Edge(v, head[u], id);
    head[u] = edge_cnt++;
}

int node_num, opr_num;
long long edge_opr[MAX_NODE_NUM];
long long node_opr[MAX_NODE_NUM];
bool vis[MAX_NODE_NUM];
long long ans_edge[MAX_EDGE_NUM];
int father[MAX_NODE_NUM][M];
int depth[MAX_NODE_NUM];
int seq2[MAX_NODE_NUM];
int seq2_cnt;

template<typename T>
class queue
{
    T data[MAX_Q_LEN];
    int head, rear;

public:
    queue()
    {
        head = rear = 0;
    }

    bool empty()
    {
        return head == rear;
    }

    void pop()
    {
        head++;
        if (head >= MAX_Q_LEN)
            head = 0;
    }

    void push(T a)
    {
        data[rear++] = a;
        if (rear >= MAX_Q_LEN)
            rear = 0;
    }

    T front()
    {
        return data[head];
    }
};

void bfs(int root)
{
    queue<int> q;
    q.push(root);
    seq2_cnt = 0;
    while (!q.empty())
    {
        int u = q.front();
        q.pop();
        vis[u] = true;
        seq2[seq2_cnt++] = u;
        for (int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next)
        {
            int v = edge[i].v;
            if (vis[v])
            {
                continue;
            }
            father[v][0] = u;
            depth[v] = depth[u] + 1;
            q.push(v);
        }
    }
}

//index start from 1.
void init_LCA(int root)
{
    fill_n(vis, node_num + 1, 0);
    memset(father, 0, sizeof(father));
    bfs(root);
    bool did;
    for (int i = 1; i < M; i++)
    {
        did = false;
        for (int j = 1; j <= node_num; j++)
        {
            int k = father[j][i - 1];
            if (k <= 0)
            {
                continue;
            }
            father[j][i] = father[k][i - 1];
            did = true;
        }
        if (!did)
        {
            break;
        }
    }
}

int LCA(int x, int y)
{
    if (depth[x] > depth[y])
    {
        swap(x, y);
    }
    int diff = depth[y] - depth[x];
    for (int i = 0; i < M && diff; i++)
    {
        if (diff & 1)
        {
            y = father[y][i];
        }
        diff >>= 1;
    }
    if (x == y)
    {
        return x;
    }
    int exp = 0;
    while (x != y)
    {
        if (!exp || father[x][exp] != father[y][exp])
        {
            x = father[x][exp];
            y = father[y][exp];
            exp++;
        }else
        {
            exp--;
        }
    }
    return x;
}

inline int read_int()
{
    int num = 0;
    int sign = 1;
    bool skip = false;
    int c = 0;
    while((c = getchar()) != EOF)
    {
        if(c == '-')
        {
            sign = -1;
            skip = true;
        }
        else if(c >= '0' && c <= '9')
        {
            num = num * 10 + c - '0';
            skip = true;
        }
        else if(skip)
    {
        break;
    }
    }
    return num * sign;
}

inline int ReadOP()
{
    int c = 0;
    while((c = getchar()) != EOF && c != 'A');
    getchar(); getchar();
    return getchar();
}

void input()
{
    scanf("%d%d", &node_num, &opr_num);
    for (int i = 0; i < node_num - 1; i++)
    {
        int a, b;
        a = read_int();
        b = read_int();
        add_edge(a, b, i);
        add_edge(b, a, i);
    }
    init_LCA(1);
    fill_n(edge_opr, node_num + 1, 0);
    fill_n(node_opr, node_num + 1, 0);
    fill_n(ans_edge, node_num + 1, 0);
    for (int i = 0; i < opr_num; i++)
    {
        int a, b, k;
        int op = ReadOP();
        a = read_int();
        b = read_int();
        k = read_int();
        int c = LCA(a, b);
        D(printf("%d
", c));
        if (op == '2')
        {
            edge_opr[c] -= k * 2;
            edge_opr[a] += k;
            edge_opr[b] += k;
        }else
        {
            node_opr[c] -= k;
            if (father[c][0] > 0)
            {
                node_opr[father[c][0]] -= k;
            }
            node_opr[a] += k;
            node_opr[b] += k;
        }
    }
}

void work()
{
    for (int i = seq2_cnt - 1; i >= 0; i--)
    {
        int u = seq2[i];
        D(printf("%d %lld
", u, node_opr[u]));
        for (int j = head[u]; j != -1; j = edge[j].next)
        {
            int v = edge[j].v;
            if (v == father[u][0])
            {
                continue;
            }
            node_opr[u] += node_opr[v];
            edge_opr[u] += edge_opr[v];
            ans_edge[edge[j].id] = edge_opr[v];
        }
        D(printf("%d %lld
", u, node_opr[u]));
    }
}

void output()
{
    bool first = true;
    for (int i = 1; i <= node_num; i++)
    {
        if (first)
        {
            first = false;
        }else
        {
            putchar(' ');
        }
        printf("%lld", node_opr[i]);
    }
    puts("");
    first = true;
    for (int i = 0; i < node_num - 1; i++)
    {
        if (first)
        {
            first = false;
        }else
        {
            putchar(' ');
        }
        printf("%lld", ans_edge[i]);
    }
    puts("");
}

int main()
{
    int t;
    scanf("%d", &t);
    for (int i = 0; i < t; i++)
    {
        printf("Case #%d:
", i + 1);
        init_edge();
        seq2_cnt = 0;
        input();
        work();
        output();
    }
    return 0;
}