POJ1703 Find them Catch them 关于分集合操作的正确性证明 种类并查集

题目链接：http://poj.org/problem?id=1703

这道题和食物链那道题有异曲同工之处，都是要处理不同集合之间的关系，而并查集的功能是维护相同集合之间的关系。这道题中有两个不同的集合，朴素并查集只能查询两者是否属于同一个集合，扩展并查集可以建立多个集合之间的关系。

本题我看了很多博客，对于两个集合，有许多博客都是采取2*n大小的并查集解决。大家的说法都是1-n属于一个集合，n-2*n属于另一个集合，我看的云里雾里，下面我想用我的方法来证明这样划分两个集合的正确性。

证明：我们人为上的操作既然不会将k和n+k结点合并就说明k结点和n+k结点永远也不会在同一个集合中，我们可以认为（k,n+k）是一组对立元组，我们要将（a,b）元组中的a和b归到不同的集合中去，由于（a,n+a）和（b,n+b）一定是对立的元组，现在我们要制造（a,b）是对立元组的局面，我们可以知道（a,n+b）属于同一个集合和（a+n,b）属于同一个集合。现在不用管两个到底具体属于哪个集合，只要知道他们是属于不同的集合，所以只要将（a,n+b）合并还有（a+n,b）合并就可以保证（a,b）是对立元组。查询时也只要看（a,b）是否属于同一个集合。证毕。

根据我的证明，大家应该对基础的种类并查集有了一点认识。代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
 
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 5;
 
int n, m;
int par[maxn*2], high[maxn*2];
 
void init(int n)
{
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        par[i] = i;
        high[i] = 0;
    }
}
 
int getRoot(int x)
{
    return par[x] == x ? x : par[x] = getRoot(par[x]);
}
 
void unite(int x, int y)
{
    x = getRoot(x);
    y = getRoot(y);
    if(x == y)    return;
 
    if(high[x] < high[y])    par[x] = y;
    else
    {
        par[y] = x;
        if(high[x] == high[y])    high[x]++;
    }
}
 
bool same(int x, int y)
{
    return getRoot(x) == getRoot(y);
}
 
int main()
{
    //freopen("in.txt", "r", stdin);
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d", &n, &m);
        init(2*n);
 
        char op;    int a, b;
        for(int i = 1; i <= m; i++)
        {
            scanf("
%c%d%d", &op, &a, &b);
            if(op == 'D')
            {
                unite(a, b+n);
                unite(a+n, b);
            }
            else
            {
                if(same(a, b+n) || same(a+n, b))    printf("In different gangs.
");
                else if(same(a, b) || same(a+n, b+n))    printf("In the same gang.
");
                else    printf("Not sure yet.
");
            }
        }
    }
    return 0;
}