洛谷5057 关于异或前缀和的证明！！！ 树状数组 +异或前缀和

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P5057

题目中首先给出一个全零序列，操作有两种，一种是将[l,r]区间的01序列取反，还有一种是单点更新。我们考虑到取反可以让这个位与1求异或，可以用树状数组更新一段，异或运算和加法运算有着很相似的地方，对于加法，我们为了更新一段区间可以构造序列的拆分数列，维护拆分序列，这样的话就变成了的更新两个点，因为在区间中的拆分数列值只有端点会发生变化，中间的值不会发生变化。异或也是同样的计算。在此树状数组维护的是异或前缀和。

下面我来简单地证明该算法的正确性：

最后贴上树状数组的求解代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned int ui;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
#define pf printf
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define prime1 1e9+7
#define prime2 1e9+9
#define pi 3.14159265
#define lson l,mid,rt<<1
#define rson mid+1,r,rt<<1|1
#define scand(x) scanf("%llf",&x) 
#define f(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define scan(a) scanf("%d",&a)
#define mp(a,b) make_pair((a),(b))
#define P pair<int,int>
#define dbg(args) cout<<#args<<":"<<args<<endl;
#define inf 0x3f3f3f3f
const int maxn=1e6+10;
int n,m,t;
inline int read(){
    int ans=0,w=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))ans=(ans<<3)+(ans<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return ans*w;
}
int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}
int c[maxn];
int query(int x)
{
    int ans=0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i))ans^=c[i];
    return ans;
}
void update(int x)
{
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
    {
        c[i]^=1;
     } 
}
int main()
{
    //freopen("input.txt","r",stdin);
    //freopen("output.txt","w",stdout);
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    n=read(),m=read();
    int op;
    int l,r;
    f(i,1,m)
    {
        op=read();
        if(op==1)
        {
            l=read();
            r=read();
            update(l);
            update(r+1);
        }
        if(op==2)
        {
            l=read();
            pf("%d
",query(l));
        }
    }
 } 

根据翻转的性质，只可能是从0->1或者1->0，所以我们在一段区间上加上1之后对他取模将会得到与翻转一样的结果，由于加法运算和取模运算的可交换性质，我们在最终取模将会得到最终翻转的结果。所以这个题目就变成了一道区间加法加点查询的题目，树状数组维护原序列的拆分即可。代码如下：（线段树的话，非常地繁琐，就不贴了）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned int ui;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
#define pf printf
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define prime1 1e9+7
#define prime2 1e9+9
#define pi 3.14159265
#define lson l,mid,rt<<1
#define rson mid+1,r,rt<<1|1
#define scand(x) scanf("%llf",&x) 
#define f(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define scan(a) scanf("%d",&a)
#define mp(a,b) make_pair((a),(b))
#define P pair<int,int>
#define dbg(args) cout<<#args<<":"<<args<<endl;
#define inf 0x3f3f3f3f
const int maxn=1e6+10;
int n,m,t;
inline int read(){
    int ans=0,w=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))ans=(ans<<3)+(ans<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return ans*w;
}
int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}
int c[maxn];
int query(int x)
{
    int ans=0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i))ans+=c[i];
    return ans;
}
void update(int x,int y)
{
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
    {
        c[i]+=y;
     } 
}
int main()
{
    //freopen("input.txt","r",stdin);
    //freopen("output.txt","w",stdout);
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    n=read(),m=read();
    int op;
    int l,r;
    f(i,1,m)
    {
        op=read();
        if(op==1)
        {
            l=read();
            r=read();
            update(l,1);
            update(r+1,-1);
        }
        if(op==2)
        {
            l=read();
            pf("%d
",query(l)%2);
        }
    }
 }