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  • 小学二年级数学题

    [prod_{n=1}^{+infty}sqrt{1+frac{4}{n^4}} ]

    (large ext{Answer:})

    [frac{e^{pi}-e^{-pi}}{2sqrt{2}pi} ]

    (还是稍微写下过程吧

    起因是 ( ext{SV}) 丢给了我一道题:

    [sum_{n=1}^{+infty}arctanleft(frac{2}{n^2} ight) ]

    不妨先来看看这一道题。那个 (frac{2}{n^2}) 是一个角的 ( an) 值,那么 (arctan) 就是这个角的大小。要求的就是一堆角加起来的值。

    这很像复数的乘法法则:幅角相加,模长相乘。同时复数也可以很好地表达一个角的三角函数值,所以考虑转化为复数的问题。

    注意这里我们需要关注的只是它的幅角而已,所以不必要求模长为 (1)

    现在我们要求

    [prod_{n=1}^{+infty}left(1+frac{2}{n^2}i ight) ]

    在小学一年级的时候,老师曾告诉我们:

    [frac{sin x}{x} = prod_{k=1}^{+infty}left(1-frac{x^2}{k^2pi^2} ight) ag{$xin mathbb{C}$} ]

    所以原式就等于:

    [frac{sinleft(pi(1-i) ight)}{pi(1-i)} ]

    再用 (sin x=frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}) 把分子展开,化简可得:

    [frac{e^{pi}-e^{-pi}}{4pi}(i-1) ]

    再重复一遍:我们关注的是它的幅角。所以答案显然为 (frac{3pi}{4})

    不过还有一些小细节要处理:一个三角函数值可能对应多个幅角。这个问题容易处理:通过简单的放缩可以得到那个式子的值是小于 (pi) 的。

    回到原问题。如果你很不幸在第二个问题中的第一步把所有复数的模长化为了 (1),也就是求了 (prod_{n=1}^{+infty}left(frac{n^2}{sqrt{n^4+4}}+frac{2}{sqrt{n^4+4}}i ight)=frac{sum_{n=1}^{+infty}arctanleft(frac{2}{n^2} ight)}{prod_{n=1}^{+infty}sqrt{1+frac{4}{n^4}}})(很显然它的模长为 (1)),那么你将很难得到最终需要的结果。但是当你换个思路求出原问题的答案之后,你就意外地得到了这样一个结果:

    [prod_{n=1}^{+infty}sqrt{1+frac{4}{n^4}} = frac{e^{pi}-e^{-pi}}{2sqrt{2}pi} ]

    啊,意外的收获!

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/realSpongeBob/p/PrimarySchoolGrade2MathProblem.html
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