CRT
\(f(x)=\left\{ {\begin{array}{}x\equiv a_1(mod\ m_1)\\x\equiv a_2(mod\ m_2)\\\cdots\\x\equiv a_n (mod\ m_n)\end{array}} \right.\)
任意两个\(m_i\)互质，求\(x\)。
设\(rem=\prod_1^nm_i\)，得\(gcd(m_i,\frac{rem}{m_i})=1\)。
设\(k\)，\(k\)满足：
\(k\times \frac{rem}{m_i} \%m_i=1\)
得:
\(k\times \frac{rem}{m_i} \% m_j = \left\{ {\begin{array}{}1(i=j)\\0(i\ne j)\end{array}} \right.\)
那么得：
\(a_i\times k\times \frac{rem}{m_i} \% m_j = \left\{ {\begin{array}{}a_i(i=j)\\0(i\ne j)\end{array}} \right.\)
\(k\)为\(\frac{rem}{m_i}\)逆元。
答案：\(x=\sum _1^n a_i \times k \times \frac{rem}{m_i}\)
exCRT
我们现在，去除掉\(m_i\)互质的条件。
在这种情况下，是有可能无解的。
我们选取第\(1,2\)组\(x\equiv a_i(mod\ m_i)\)
设\(x=a_i+m_i\times k_i\)
有：\(a_1+m_1 \times k_1=a_2+m_2\times k_2=\cdots=x\)
\(m_1\times k_1-m_2\times k_2=a_2-a_1\)
两边同除以\(gcd(m_1,m_2)\)。
得:
\(\frac{m_1\times k_1}{gcd(m_1,m_2)}-\frac{m_2\times k_2}{gcd(m_1,m_2)}=\frac{a_2-a_1}{gcd(m_1,m_2)}\)
我们现在简写\(gcd(m_1,m_2)\)为\(gcd\)。
易得，因为等式左边是整数，若右边无法整除，则无解。
那么现在等式为：
\(\frac{m_1}{gcd}\times k1-\frac{m_2}{gcd}\times k2=\frac{a_2-a_1}{gcd}\)
可以知道\(\frac{m_1}{gcd}\)和\(\frac{m_2}{gcd}\)互质。
则现在设\(q\)和\(p\)。根据裴蜀定理。
有：\(\frac{m_1}{gcd}\times p+\frac{m_1}{gcd}\times q = 1\)
\(p\)和\(q\)通过扩展欧几里得(\(exgcd\))求出。
而\(k_1=p\times \frac{a_2-a_1}{gcd},k_2=q\times \frac{a_2-a_1}{gcd}\)
那么我们现在得到了一二组的解，我们将一二组合并为一组：新的一组的
\(a=k_1\times m_1+a_1\)
\(m=lcm(m_1,m_2)\)
\(a\)就是\(1,2\)组的答案，并且这个最小的非负数答案一定不会超过\(m\)。
以此类推。
最后\(x\)的答案就是合并所有组后的\(a\)。