字符串模式匹配KMP算法中的next数组算法及C++实现

一、问题描述：

对于两个字符串S、T，找到T在S中第一次出现的起始位置，若T未在S中出现，则返回-1。

二、输入描述：

两个字符串S、T。

三、输出描述：

字符串T在S中第一次出现的起始位置，若未出现，则返回-1。

四、输入例子：

ababaababcb
ababc

五、输出例子：

5

六、KMP算法解析：

KMP算法分为两步，第一步是计算next数组，第二步是根据next数组通过较节省的方式回溯来比较两个字符串。

网络上不同文章关于next数组的角标含义略有差别，这里取参考文献中王红梅《数据结构(C++版)》的next定义。

设长字符串为S，短字符串为T，next数组的长度与短字符串T的长度一致，next[j]代表使T[0]~T[k-1]=T[j-k]~T[j-1]成立的最大k值。

当T="ababc"时，next=[-1,0,0,1,2]。

通俗的讲，next[j]代表了从0往后查k个字母与从j-1往前查k个字母，这k个字母按角标排列，正好完全一样的最大k值，其作用是减少回溯的距离，从而减少比较次数。

根据《数据结构(C++版)》KMP算法的伪代码可以用如下伪代码表述：

1. 在串S和串T中分别设置比较的起始下标i和j;
2. 重复下述操作，直到S或T的所有字符均比较完毕;
    2.1 如果S[i]等于T[j]，继续比较S和T的下一对字符;
    2.2 否则将下标j回溯到next[j]的位置，即j = next[j];
    2.3 如果j等于-1，则将下标i和j分别加1，准备下一趟比较;
3. 如果T中所有字符均比较完毕，则返回匹配的i-j;
    否则返回-1;

KMP算法的C++代码如下：

int KMP(string S, string T)
{
    vector<int> next = getNext(T);
    int i = 0, j = 0;
    while (S[i] != '' && T[j] != '')
    {
        if (S[i] == T[j])
        {
            ++i;
            ++j;
        }
        else
        {
            j = next[j];
        }
        if (j == -1)
        {
            ++i;
            ++j;
        }
    }
    if (T[j] == '')
        return i - j;
    else
        return -1;
}

书中只给出next数组的定义，算法留给读者完成，这里我们将其完成。

根据书中next数组的定义，当T="ababc"时，

j=0时，next[0] = -1;

j=1时，next[1] = 0;

接下来的next数组要进行计算，

j=2时，T[0]≠T[1]，则next[2] = 0;

j=3时，由于之前已经比较过T[0]与T[1]不想等，所以无需比较T[0~1]与T[1~2]（一定不想等），直接比较T[0]=T[2]，则next[3] = 1;

j=4时，由于next[3] = 1可知T[0]=T[2]，所以可以直接比较T[1]=T[3]，可得T[0~1]与T[2~3]，则next[4] = 2;

还有一种情况可以节省计算next的时间，这里换一个长一点的字符串说明这种情况，当T="ababaababcb"时，

j=4时，我们计算出next[4] = 2（ab=ab）;

j=9时，我们计算出next[9] = 4（abab=abab）;

j=10时，next[9] = 4可知T[0~3]=T[5~8]，直接比较T[9]='c'和T[4]='a'不相等，由next[4]为2可得T[0-1]和T[2-3]重复为已知、由已经判断到T[9]与T[4]可得T[7-8]和T[2-3]重复为已知，所以可以推断出T[0-1]与T[7-8]为重复字符，可直接判断T[9]与T[next[4]]，即T[9]与T[2]，从而省略重复判断T[0-1]与T[7-8]。

计算next数据的C++代码如下：

vector<int> getNext(string T)
{
    vector<int> next(T.size(), 0);            // next矩阵，含义参考王红梅版《数据结构》p84。
    next[0] = -1;                            // next矩阵的第0位为-1
    int k = 0;                            // k值
    for (int j = 2; j < T.size(); ++j)        // 从字符串T的第2个字符开始，计算每个字符的next值
    {
        while (k > 0 && T[j - 1] != T[k])    
            k = next[k];
        if (T[j - 1] == T[k])
            k++;
        next[j] = k;
    }
    return next;                            // 返回next矩阵
}

其中，第8、9行为上述T="ababaababcb"，j=10时出现的情况。第10、11行为类似T[0]=T[2]的比较成功的情况。第12行为类似next[3] = 1的赋值。

七、完整程序

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>

using namespace std;

vector<int> getNext(string T)
{
    vector<int> next(T.size(), 0);            // next矩阵，含义参考王红梅版《数据结构》p84。
    next[0] = -1;                            // next矩阵的第0位为-1
    int k = 0;                            // k值
    for (int j = 2; j < T.size(); ++j)        // 从字符串T的第2个字符开始，计算每个字符的next值
    {
        while (k > 0 && T[j - 1] != T[k])    
            k = next[k];
        if (T[j - 1] == T[k])
            k++;
        next[j] = k;
    }
    return next;                            // 返回next矩阵
}

int KMP(string S, string T)
{
    vector<int> next = getNext(T);
    int i = 0, j = 0;
    while (S[i] != '' && T[j] != '')
    {
        if (S[i] == T[j])
        {
            ++i;
            ++j;
        }
        else
        {
            j = next[j];
        }
        if (j == -1)
        {
            ++i;
            ++j;
        }
    }
    if (T[j] == '')
        return i - j;
    else
        return -1;
}

int main()
{
    string S = "ababaababcb";
    string T = "ababc";
    int num = KMP(S, T);
    cout << num;
    return 0;
}

参考文献：

[1]王红梅, 胡明, 王涛. 数据结构(C++版)[M]. 北京：清华大学出版社, 2011：83-85.

[2]牛客网. 串的模式匹配[DB/OL]. https://www.nowcoder.com/practice/084b6cb2ca934d7daad55355b4445f8a?tpId=49&&tqId=29363&rp=1&ru=/activity/oj&qru=/ta/2016test/question-ranking