复变函数的导数：
[f'(z_0)=lim_{Delta z o0}frac{f(z_0+Delta z)-f(z_0)}{Delta z}
]
-
求导时规则和实变量函数一样，把i当作常数。
-
复变函数(f(z)=u+iv)在(z)点可导：(u,v)在该点可导且满足：（柯西-黎曼方程）
[egin{equation}
frac{part{u}}{part{x}}=frac{part{v}}{part{y}}\
frac{part{u}}{part{y}}=-frac{part{v}}{part{x}}
end{equation}\
f'(z)=frac{part{u}}{part{x}}+ifrac{part{v}}{part{x}}\ =frac{part{u}}{part{y}}-ifrac{part{v}}{part{y}}
]
解析区域：
(f(z)=u+iv)在区域(mathcal{D})内解析 = (u,v)在区域(mathcal{D})内可导且满足CR方程 = (f(z))在区域内处处可导。
- 写出实部虚部；
- 带入CR方程，
- 求出解析区域。（若可导区域是一条直线或点，则不可解析）。
调和函数：
调和函数：(frac{part^2{phi}}{part{x^2}}+frac{part^2{phi}}{part{y^2}}=0);
解析函数(f(z)=u+iv)满足：
[frac{part^2{u}}{part{x^2}}+frac{part^2{u}}{part{y^2}}=0\ frac{part^2{v}}{part{x^2}}+frac{part^2{v}}{part{y^2}}=0 ](f(z))的虚部(v)称为实部(u)的共轭调和函数；
复数列的极限：
- 复数列({alpha_n=a_n+ib_n})收敛 = (lim{a_n}=a,lim{b_n}=b(n oinfin);lim_{n oinfin}alpha_n=a+ib);
- 复数列收敛 = 实部、虚部组成的数列均收敛。
例：设数列(alpha_n=frac{n}{n+1}+i(1+frac1{n})^{-2n}),则数列的极限：
[lim{a_n}=1\lim{b_n}=e^{-2}\ lim_{n oinfin}alpha_n=1+ie^{-2} ]
求积分
- 简单方法
[int_0^1zsin{z}dz=-cos{z}z|_0^1+int_0^1coszdz=sin1-cos1
]
分别沿(y=x,y=x^2)，计算基分(int_0^{1+i}(x^2+iy)dz);
[int_0^{1+i}(x^2+iy)d(x+iy)\=int_0^{1}(t^2+it)dt(1+i)=-frac16+frac56i
]
后者同理；
- 柯西-古萨基本定理
- 设(c:{|z-1|=frac12})，则：(oint_{c}frac{cos{z}}{z^3}dz=\_0\_)？
若(f(z))在c 围成的区域内解析，则(oint_{c}f(z)dz=0)。
- (oint_{|z|=1}frac1{cos{z}}dz)=0；
[cos{z}=0 时，z=fracpi2+kpi
otin{|z|=1}
]
因此，处处解析。
- 柯西积分公式
- (oint_{c}frac{e^z}{z}dz，c：{|z|=1})=(2pi i)
(f(z))在曲线c的内部解析，(z_0)在c的内部：
[f(z_0)=frac1{2pi i}oint_cfrac{f(z)}{z-z_0}dz ]所以，由于(e^z=f(z))在c内部解析，则：
[2pi icdot e^0=oint_{|z|=1}frac{e^z}{z-0}dz=oint_{c}frac{e^z}{z}dz ]
- (oint_{|z|=3}frac{z+1}{z(z-i)}dz)=
设(c_1,c_2)分别是以(z=0,z=i)为圆心的两个小圆域；
[J=oint_{c_1}frac{frac{z+1}{(z-i)}}{z}dz+oint_{c_2}frac{frac{z+1}{z}}{z-i}dz\
=2pi icdotfrac{z+1}{z-i}|_{z=0}+2pi icdotfrac{z+1}{z}|_{z=i}\
=2pi i
]
- n阶导数(一般用来求积分)
(f(z))在取线c 内部解析，(z_0)在c 内部
[f^{(n)}(z_0)=frac{n!}{2pi i}oint_cfrac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz ]一般用来求积分：
[frac{2pi i}{n!}cdot f^{(n)}(z_0)=oint_cfrac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz ]