在我的一篇博客PageRank中，在5.1 算法实现中简单实现部分原本是有一个错误的。这个错误也体现出我当时对PageRank算法有理解上的偏差。
这是个什么样的错误呢？是这样的：
简单实现中计算每个网页的PR值时使用的是最原始的方法，即下面的这个公式：
[PR(p_{i}) = alpha sum_{p_{j} in M_{p_{i}}} frac{PR(p_{j})}{L(p_{j})} + frac{(1 - alpha)}{N}
]
这个公式要求所有网页的PR值之和为1。而我原本的代码中给每个网页赋予的初始PR值的代码为：
page_rank = dict.fromkeys(nodes, 1.0) # 给每个节点赋予初始的PR值
也就是说，我给出的初始PR值之和为5（例子中共有5个网页）。
犯这个错误的原因是我理解错了“与(P_0)的选取无关”这句话。正确的理解应该是：“与(P_0)的初始概率分布无关”。
然而，我理解错了也还有另一个原因，那就是我原来的程序中不管给出的初始PR值是多少，最终的PR值都是一样的。现分析如下：
按照我原本的程序逻辑，我使用的公式应该是这样的，其中(G)为所有网页：
[PR(p_{i}) = alpha sum_{p_{j} in M_{p_{i}}} frac{PR(p_{j})}{L(p_{j})} +
frac{(1 - alpha)}{N} sum_{p_k in G} PR(p_k)
]
而我却使用了最原始的公式，造成了：
[每轮迭代，每个页面的PR值都减少了 frac{(1 - alpha)}{N} * (上轮PR值总和 - 1) \
Rightarrow 每轮迭代，PR值总和都减少了 (1 - alpha) * (上轮PR值总和 - 1)
]
现假设初始PR值总和为 (A_0)，则有：
[最开始，PR值总和为：A_0 \
第一轮迭代之后，PR值总和为：A_1 = A_0 - (1 - alpha) (A_0 - 1) = alpha A_0 + 1 - alpha \
以此类推，则有 \
A_{n} = alpha A_{n-1} + 1 - alpha \
Rightarrow A_{n} - 1 = alpha (A_{n-1} - 1) \
Rightarrow A_{n} - 1 = alpha^{n} (A_{0} - 1) \
Rightarrow A_{n} = alpha^{n} (A_{0} - 1) + 1\
ecause alpha < 1 \
herefore lim_{n
ightarrow infty} A_n = 1
]
即不管初始PR值为多少，最终其和都将趋于1（若初始值之和小于1，用相似的方法可以证明）。也就是说，最终结果是一样的（因为最终趋于1之后就相当于以“PR值总和为1”的情况又开始了计算）。这一点在代码中也有体现：当PR值设置得很大的时候，需要迭代的次数也相应增大。
总结：应该使用最上面的公式，同时初始PR值总和应该设置为1。