最小生成树

一个例子

在电子电路设计中，我们常常需要将多个组件的针脚连接在一起。要连接n个针脚，我们可以使用n-1根连线，每根连线连接两个针脚。显然，我们希望所使用的连线长度最短。

我们可以将上述问题用一个连通无向图G=(V,E)来表示，这里V是针脚的集合，E是针脚之间可能连接，每条边的权重代表两个针脚间连线的长度。

我们希望找到E的一个无环子集T（必为一棵树），既能够将所有针脚连接起来，又具有最小权重。我们称取该生成树的问题为最小生成树问题。

最小生成树可以用kruskal算法或prim算法求出。

可以形象的区分这两个算法：kruskal算法每次确定一条边，prim算法每次确定一个结点。

 

 

kruskal算法

伪代码

MST-KRUSKAL(G,w)
A=∅
for each vertex v∈G.V
    MAKE-SET(v)
sort the edges of G.E into nondecreasing order by weight w
for each edge(u,v)∈G.E,taken in nondecreasing order by weight
    if FIND-SET(v)≠FIND-SET(v)
        A=A∪{(u,v)}
        UNION(v,u)
return A

集合A是最小生成树的边的集合，下面是代码的分析：

2-4   将集合A初始化为一个空集，并创建|V|棵树，每棵树仅包含一个结点

5      将图G的边按照权重递增的形式排序

6-9   按照权重从低到高对每条边进行检查。对于每条边(u,v)来说，检查端点u和端点v是否属于同一棵树：

        1.如果是，该条边不能加入到森林里（否则将形成环路）

　　  2.如果不是，则把这条边加入到集合A中，然后将两棵树中的结点进行合并

 

下面演示了kruskal算法的工作过程

 

 

 

prim算法

伪代码

MST-PRIM(G,w,r)
for each u∈G.V
    u:key=∞
    u:π=NIL
r:key=0
Q=G.V
while Q≠∅
    u=EXTRACT-MIN(Q)
    for each v∈G.Adj[u]
    if v∈Q and w(u,v)<v.key
        v.π=u
        v.key=w(u,v)

参数r是根结点，算法代码分析如下：

2-6   将每个结点的key值设置为∞，根结点r的key值设置为0。将每个结点的父结点设置为NIL。对最小优先队列Q进行初始化，使其包含图中所有的结点。

7-12 每次从Q中取出一个key值最小的（第一次是r）结点，然后更新该结点相邻结点的key值和父结点，直到Q为空。

下面演示了prim算法的过程。从根结点开始，每次找出一个距集合G-Q最小的结点加入。