题意
求下式的值:
[sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m mathbb{P}(gcd(i,j))
]
其中 (mathbb{P}(x)) 当 (x) 为质数时为 (1), 否则为 (0).
题解
反演真棒
[egin{align}
f(x)&= sum_i^Nsum_j^M[gcd(i,j)=x] \
F(x)&= sum_{x|m}f(m) \
&=left lfloor frac N x
ight
floorleft lfloor frac M x
ight
floor \
ext{Ans}&=sum_p f(p) \
&=sum_p sum_{p|m}F(m)mu(frac m p) \
&=sum_p sum_{p|m}left lfloor frac N m
ight
floorleft lfloor frac M m
ight
floor muleft(frac m p
ight) \
&p|mRightarrow m=pd \
&=sum_p sum_{d=1}^{left lfloor frac N p
ight
floor}left lfloor frac N {pd}
ight
floorleft lfloor frac M {pd}
ight
floor mu(d) \
& ext{let} T = pd Rightarrow d = frac T p\
&=sum_{T=1}^N sum_{p|T} left lfloor frac N {T}
ight
floorleft lfloor frac M {T}
ight
floor mu left(frac T p
ight)\
&=sum_{T=1}^N left lfloor frac N {T}
ight
floorleft lfloor frac M {T}
ight
floor sum_{p|T} mu left(frac T p
ight)
end{align}
]
没有GCD就没有mu
搞出GCD来然后倍数反演, 然后xjb倒腾求和号把下取整部分的枚举翻到最外层, 然后筛里层就星了
里层就是
[g(x)=sum_{p | x}muleft(frac x p
ight)
]
里层的话设当前基数为 (i), 要乘上去的质数为 (p), 要筛的值为 (t=pi), 则当 (p ot mid i) 的时候会给这个和式增加一项 (muleft(frac t p ight)) 也就是 (mu(i)), 同时原来的求和项中所有的 (mu) 值都会因为新质因子的加入而被取反, 所以 (g(t)=mu(i)-g(i)). 而当 (p mid i) 的时候, 因为加入了平方因子, 那么所有的没有除去当前 (p) 的 (frac t {p'}) 都会包含一个 (p^2) 因子, 所以 (mu) 值为 (0), 唯一还能对这个和式产生贡献的就只有 (mu left (frac t p ight )) 也就是 (mu (i)) 了. 于是这种情况下 (g(t)=mu(i)).
