zoukankan      html  css  js  c++  java
  • TSP(旅行者问题)——动态规划详解(转)

    1.问题定义

          TSP问题(旅行商问题)是指旅行家要旅行n个城市,要求各个城市经历且仅经历一次然后回到出发城市,并要求所走的路程最短。

          假设现在有四个城市,0,1,2,3,他们之间的代价如图一,可以存成二维表的形式

                  image        image

                          图一                                                                                               

            现在要从城市0出发,最后又回到0,期间1,2,3都必须并且只能经过一次,使代价最小。

    2.动态规划可行性

            设s, s1, s2, …, sp, s是从s出发的一条路径长度最短的简单回路,假设从s到下一个城市s1已经求出,则问题转化为求从s1到s的最短路径,显然s1, s2, …, sp, s一定构成一条从s1到s的最短路径,所以TSP问题是构成最优子结构性质的,用动态规划来求解也是合理的。

    3.推导动态规划方程

            假设从顶点s出发,令d(i, V’)表示从顶点i出发经过V’(是一个点的集合)中各个顶点一次且仅一次,最后回到出发点s的最短路径长度。

            推导:(分情况来讨论)

            ①当V’为空集,那么d(i, V’),表示从i不经过任何点就回到s了,如上图的 城市3->城市0(0为起点城市)。此时d(i, V’)=Cis(就是 城市i 到 城市s 的距离)、

            ②如果V’不为空,那么就是对子问题的最优求解。你必须在V’这个城市集合中,尝试每一个,并求出最优解。

               d(i, V’)=min{Cik +  d(k, V’-{k})}

               注:Cik表示你选择的城市和城市i的距离,d(k, V’-{k})是一个子问题。

            综上所述,TSP问题的动态规划方程就出来了:

             image

    4.实例分析

         现在对问题定义中的例子来说明TSP的求解过程。(假设出发城市是 0城市)

         image

        ①我们要求的最终结果是d(0,{1,2,3}),它表示,从城市0开始,经过{1,2,3}之中的城市并且只有一次,求出最短路径.

        ②d(0,{1,2,3})是不能一下子求出来的,那么他的值是怎么得出的呢?看上图的第二层,第二层表明了d(0,{1,2,3})所需依赖的值。那么得出:

           d(0,{1,2,3})=min  {

                                        C01+d(1,{2,3})

                                        C02+d{2,{1,3}}

                                        C03+d{3,{1,2}}

                                      }

         ③d(1,{2,3}),d(2,{1,3}),d(3,{1,2})同样也不是一步就能求出来的,它们的解一样需要有依赖,就比如说d(1,{2,3})

           d(1,{2,3})=min{

                                  C12+d(2,{3})                             

                                  C13+d(3,{2})

                                  }

           d(2,{1,3}),d(3,{1,2})同样需要这么求。

        ④按照上面的思路,只有最后一层的,当当V’为空集时,Cis的值才可以求,它的值是直接从

    image

    这张表里求得的。

    5.编程思路

            将d(i, V’)转换成二维表,d[i][j]

    image

            在程序中模拟填表的过程,主要要考虑到j这个参数的表示,它要代表一个集合,可以用二维数组来表示。

    6.源代码

     实现上略有不同,d[i][k] 表示从i出发经过k中所有标志位为1的点(这里面是包括i的)后到达终点。

    #include <iostream>
    #include <memory.h>
    #include <climits>
    #include <algorithm>
    
    using namespace std;
    
    #define MAX_CITY_NUM 10
    
    // the number of the cities
    int n;
    // the city map
    int cityMap[MAX_CITY_NUM][MAX_CITY_NUM];
    
    
    
    //if city number less than 32, can use this simple method.(in vs2013,  more than 25 will cause an "array is too large" error)
    int tsp1()
    {
        int ret = INT_MAX;
        int d[MAX_CITY_NUM][1 << MAX_CITY_NUM];  //current city and past city
    
        for (int i = 0; i < MAX_CITY_NUM; i++)
            for (int j = 0; j < 1 << MAX_CITY_NUM; j++)
                d[i][j] = INT_MAX;
    
        //init every city to city0
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            d[i][1<<i] = cityMap[i][0];
        }
        
        for (int i = n-1; i >= 0; i--)    // the start city.
            for (int j = 1; j < n; j++)    //the end city.
                for (int k = 0; k < 1 << n; k++)
                {
                    if (d[j][k&~(1 << i)] != INT_MAX && (k >> j & 1) && (k >> i & 1))
                    {
                        //cout << d[i][k] << endl;
                        //cout << d[j][k&~(1 << i)] + cityMap[i][j] << endl;
                        d[i][k] = min(d[i][k], d[j][k&~(1 << i)] + cityMap[i][j]);
                        //if (d[i][k] < INT_MAX)
                            //cout << "d[" << i << "][" << k << "] = " << d[i][k] << endl;
                    }
                        
                }
    
        ret = d[0][(1 << n) - 1];
    
        return ret;
    }
    
    
    
    int main()
    {
        //init data.
        n = 4;
        memset(cityMap, 0, sizeof(cityMap));
        cityMap[0][1] = 3;
        cityMap[0][2] = 6;
        cityMap[0][3] = 7;
        cityMap[1][0] = 5;
        cityMap[1][2] = 2;
        cityMap[1][3] = 3;
        cityMap[2][0] = 6;
        cityMap[2][1] = 4;
        cityMap[2][3] = 2;
        cityMap[3][0] = 3;
        cityMap[3][1] = 7;
        cityMap[3][2] = 5;
    
        cout << tsp1() << endl;
    }
  • 相关阅读:
    CentOS 5.3 挂载 读写 ntfs硬盘
    Linux基础教程
    信息安全技术实用教程
    单片机原理与应用技术
    【36.11%】【codeforces 725C】Hidden Word
    【37.74%】【codeforces 725D】Contest Balloons
    【16.67%】【codeforces 667C】Reberland Linguistics
    【16.05%】【codeforces 664B】Rebus
    【record】10.17..10.23
    【23.33%】【codeforces 664C】International Olympiad
  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/scarecrow-blog/p/4670430.html
Copyright © 2011-2022 走看看