【小知识】证明 $1$ 到 $n$ 的立方和公式

• scb 发明了小学奥数（确信）

Formula

　　(sumlimits_{i=1}^n i^3 = (sumlimits_{i=1}^n i)^2)

Provement

　　构造一个矩阵 (a) $$1space 2space 3space 4space 5 2space 4space 6space 8space 10 3space 6space 9space 12space 15 4space 8space 12space 16space 20 5space 10space 15space 20space 25$$
　　（这个矩阵还可以往右下无限延伸，这里限于篇幅就写这么多）
　　对于左上角 (n imes n) 个数的和，有两种不同的求法。两种求法对应了标题中的等号两侧。

　　首先有反 L 字形求和公式：$$egin{align} &sumlimits_{i=1}^x a_{x,i} + sumlimits_{i=1}^{x-1} a_{i,x} onumber = &x imes [1+2+3+cdots +x+(x-1)+(x-2)+cdots +1] onumber = &x imes x^2 onumber = &x^3 onumber end{align}$$
　　故左上角 (n imes n) 个数的和就是 (sumlimits_{x=1}^n x^3)

　　然后有一行求和公式，即第 (i) 行的和为 (i imes (1+2+cdots +n))
　　故左上角 (n imes n) 个数的和也是 ((1+2+cdots +n) imes (1+2+cdots +n) = (sumlimits_{i=1}^n i)^2)

　　Q.E.D