CF960F Pathwalks

题目描述

给定 (n) 个点 (m) 条边的有向图，可能不连通，可能有重边，也可能会有自环。求最长的路径(可以经过重复节点)，使得这条路径的编号和权值都严格单调递增，其中编号指输入的顺序。路径的长度是指经过边的数量。

输入格式

第一行两个整数 (n,m)。

第二行到第 (m+1) 行，每行三个整数 (a,b,k)，表示顶点 (a) 与顶点 (b) 有一条边相连，边权为 (k)。

输出格式

一行一个整数，表示最长的路径的长度。

(1leq n,m,w_ileq10^5)。

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考虑直接dp，设(f_i)表示前(i)条边其中保留第(i)条边时的答案，那么有转移方程如下：

[f_i=max_{j=1}^{i-1}f_j+1[k_j<k_i,b_j=a_i] ]

直接做是(O(n^2))的，那么考虑优化。

观察这个式子我们可以发现，我们需要维护(N)个数组，每次查询一个数组里的前缀最大值，往一个数组里插入一个数，那么这个东西可以用动态开点线段树实现。

Code

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
const int N = 1e5;
using namespace std;
struct edges
{
    int u,v,w;
}edge[N + 5];
int n,m,f[N + 5],ans,rt[N + 5];
struct Seg
{
    int mx[N * 20 + 5],lc[N * 20 + 5],rc[N * 20 + 5],node_cnt;
    void ins(int &k,int l,int r,int x,int v)
    {
        if (!k)
            k = ++node_cnt;
        mx[k] = max(mx[k],v);
        if (l == r)
            return;
        int mid = l + r >> 1;
        if (x <= mid)
            ins(lc[k],l,mid,x,v);
        else
            ins(rc[k],mid + 1,r,x,v);
    }
    int query(int k,int l,int r,int x)
    {
        if (!k)
            return 0;
        if (r <= x)
            return mx[k];
        int mid = l + r >> 1;
        if (x <= mid)
            return query(lc[k],l,mid,x);
        else
            return max(query(lc[k],l,mid,x),query(rc[k],mid + 1,r,x));
    }
}tree;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i = 1;i <= m;i++)
        scanf("%d%d%d",&edge[i].u,&edge[i].v,&edge[i].w),edge[i].w++;
    ans = f[1] = 1;
    tree.ins(rt[edge[1].v],1,N + 1,edge[1].w,f[1]);
    for (int i = 2;i <= m;i++)
    {
        f[i] = 1;
        f[i] = tree.query(rt[edge[i].u],1,N + 1,edge[i].w - 1) + 1;
        ans = max(ans,f[i]);
        tree.ins(rt[edge[i].v],1,N + 1,edge[i].w,f[i]);
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}