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  • 【转】小波变换教程(十)

      下面我们会更进一步的分析小波变换的分辨率特征。还记得,正是由于分辨率的问题,才使得我们短时傅立叶变换转到小波变换上。

            图3.9经常被用来解释怎样诠释时间和频率分辨率。图3.9中的每个方块都反映了在时频平面内的小波变换结果。所有的方块都有特定的非零区域,这说明在时频平面内,不能知道某个特定点对应的值。时频平面内每个方块中的点都代表了小波变换的一个结果。

                

                                                                                                    图3.9

            更深入的看一下图3.9,虽然方块的宽高改变了,但是其面积却是常数。即每一个方块都代表时频平面内相等的部分,只不过时间和频率不相同。注意到在最低频处,方块的高度比较短(意味着频率分辨率最高,更容易知道确切的频率),但是最高频处的方块高度最高(意味着频率分辨率最低,更不易知道确切的频率)。在高频处,方块的宽度减小,时间分辨率提高了,随着方块高度降低,频率分辨率越来越低。

            在总结这一节之前,我们应该再提一下快速傅立叶变换中的时频图是怎么样的。回想一下快速傅立叶变换中的时频分辨率是由窗口宽度决定的,一旦确定就不变了,因此时频分辨率也就固定了。因此它的时频平面是由方块组成的。

            不考虑放宽的维数,STFT和WT的结果都满足海森堡测不准原理。总结一下,方块的面积对STFT和CWT来说都是固定的,不同的窗函数将产生不同的面积。但是,不管怎样,方块的面积都至多在1/4pi左右。根据海森堡测不准原理,我们不能将方块无限缩小。但在另一方面,对于一个给定的母小波,方块的维数可以改变,但是其面积保持不变。这就是小波变换的结果。

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