hdu_1573 X问题(不互素的中国剩余定理)

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1573

X问题

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Problem Description

求在小于等于N的正整数中有多少个X满足：X mod a[0] = b[0], X mod a[1] = b[1], X mod a[2] = b[2], …, X mod a[i] = b[i], … (0 < a[i] <= 10)。

 

Input

输入数据的第一行为一个正整数T，表示有T组测试数据。每组测试数据的第一行为两个正整数N，M (0 < N <= 1000,000,000 , 0 < M <= 10)，表示X小于等于N，数组a和b中各有M个元素。接下来两行，每行各有M个正整数，分别为a和b中的元素。

 

Output

对应每一组输入，在独立一行中输出一个正整数，表示满足条件的X的个数。

 

Sample Input

3 10 3 1 2 3 0 1 2 100 7 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 10000 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

 

Sample Output

1 0 3

 

Author

lwg

 

Source

HDU 2007-1 Programming Contest

 

 题解：

这个题直接给出了中国剩余定理的形式：X===a[i](mod b[i])但是这里注意一下这个b[i]之间有可能不是互素的，所以这里给出一个不互素的中国剩余定理的求解方式

考虑两个方程

x===a1(mod b1)

x===a2(mod b2)

可得：x = a1+b1*r1;

　　　x = a2+b2*r2;

有 a1+b1*r1 = a2+b2*r2;

有b1*r1-b2*r2 = a2-a1

这样可以通过扩展欧几里得解的r1，这里注意一下(a2-a1)%gcd(b1,b2)==0时候有解

解出r1后则x0 = a1+b1*r1位这个方程组的一个解

则这两个方程可以写成是x===x0(mod b1*b2/gcd(b1,b2))的形式

然后依次处理没两个式子，最后得到的就是解

注意这里每次求得的解都要保证是最小的解的形式，所以可以通过用(x%mod+mod)%mod 的形式来控制

最后统计次数的时候从最小的时候循环到n即可统计出个数

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
ll a[15],b[15];
ll exgcd(ll a, ll b, int &x, int &y)
{
    if(b==0){
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    ll ans = exgcd(b,a%b,x,y);
    int tx = x;
    x = y;
    y = tx-(a/b)*y;
    return ans;
}

int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        ll n,m;
        scanf("%lld%lld",&n,&m);
        for(int i = 0; i < m; i++){
            scanf("%lld",&a[i]);
        }
        for(int i = 0; i < m; i++){
            scanf("%lld",&b[i]);
        }
        bool fl = 0;
        for(int i = 1; i < m; i++){
            //更新a[i]和b[i];
            int x, y;
            ll d = exgcd(a[i-1],a[i],x,y);
            if((b[i]-b[i-1])%d){
                fl = true;
                break;
            }
            ll t = a[i]/d;
            x = x*(b[i]-b[i-1])/d;
            x = (x%t+t)%t;
            ll N = a[i-1]*x+b[i-1];
            b[i] = N;
            a[i] = a[i]*a[i-1]/d;
            b[i] = (b[i]%a[i]+a[i])%a[i];
        }
        if(fl||n<b[m-1]) printf("0
");
        else printf("%d
",(n-b[m-1])/a[m-1]+1-(b[m-1]==0?1:0));//因为要求是正整数，所以0不可以取
    }
    return 0;
}