tju_4147 kd树+最小生成树

kd树模板+全图最小生成树

标签（空格分隔）： kd树+最小生成树

---

题目链接

• 题意： k维太空中有n个点，每个点可以与距离它m近的点连边，现在给你一堆点，并给出坐标，现在要建立通信网络，一些可以互相到达的点构成一个group，现在要求每个组中的最长的边的权值最小，输出组数，和最长边的最小权值数。

---

• 题解：求一个k维空间的距离某个点的前m近点很明显可以使用kd树。权值最小，很明显用最小生成树来优化全局图，最后根据其公共父节点来算一共几个组即可。

---

• kd树讲解及模板：
  kd树通过划分平面来建树，对于每个维度，都以位于中间节点的位置划分，注意，如果有其他和这个中间节点坐标相同的点将会被划分到左区间。

下面给出kd树有注释的讲解代码，和没有注释的模板代码：

const int K = 5;//维度
int n,m,idx;
struct Point {
	int id;//节点编号
	int x[K];//对应每一个维度的坐标
	bool operator < (const Point &u) const {
		return x[idx]<u.x[idx];//按照第idx维坐标从小到大排列
	}
}po[Maxn];
double pow(double x){
	return 1.0*x*x;
}
double pow(int x){
	return 1.0*x*x;
}
struct PDP{
	double dis;//距离目标点的距离
	Point p;//这个点
	bool operator<(const PDP pdp) const{
		if(dis!=pdp.dis) return dis< pdp.dis;
		else {
			for(int i = 0; i < K; i++)
				if(p.x[i] != pdp.p.x[i]) return p.x[i] < pdp.p.x[i];
			return false;
		}
	}//按照距离排序，距离一样按照每一维度的从小到大排列
	PDP (double _dis,Point _p)
	{
		dis = _dis;
		p = _p;
	}//构造函数
};
priority_queue<PDP> nq;//优先队列保存于跟新距离某个点距离第k大的这些点
struct Tree{//kd树，因为一定是二叉树，所以可以用编号保存树
	Point p[Maxn<<2];//树的节点
	int son[Maxn<<2];//每个节点的孩子个数，用来判断是否到达根节点

	void build (int l, int r, int u = 1, int dep = 0)//建树
	{
		if(l>r) return;
		son[u] = r-l;
		son[u<<1] = son[u<<1|1] = -1;
		idx = dep%K;//维度划分方式
		int mid = (l+r)>>1;//以中间点来划分树
		nth_element(po+l,po+mid,po+r+1);//比mid对应第idx维度下的坐标小的都在左边，大的在右边。
		p[u] = po[mid];//定义节点的编号
		build(l,mid-1,u<<1,dep+1);
		build(mid+1,r,u<<1|1,dep+1);
	}

	void query(Point a, int m, int u = 1, int dep = 0)//查询距离a前m大的数
	{
		if(son[u]==-1) return ;
		PDP nd(0,p[u]);//判断根节点
		for(int i = 0; i < K; i++)
			nd.dis += pow(nd.p.x[i]-a.x[i]);//计算根节点到节点a的距离
		int dim = dep%K, fg = 0;//当前维度和是否需要继续向下判断
		int x = u<<1, y = u<<1|1;//左右孩子，每次都是先判断左孩子
		if(a.x[dim]>=p[u].x[dim]) swap(x,y);//如果这个点位于根节点的左孩子，那么先找左孩子肯定比较更容易找到解
		if(~son[x]) query(a,m,x,dep+1);//如果左孩子的值不等于-1即不空则查询左区间
		if(nq.size() < m) nq.push(nd),fg = 1;//如果队列中不足m个元素，则把这个点加入队列
		else {
			if(nd.dis < nq.top().dis) nq.pop(),nq.push(nd);//如果这个点的距离比当前队列中最大的那个还要小，则替换最大的
			if(pow(a.x[dim]-p[u].x[dim]) < nq.top().dis) fg = 1;//如果在这个维度上a距离分界点的距离都要大于队列中m个元素距离a的距离则没有必要再搜索右子树了。相反要搜索右子树，fg = 1;
		}
		if(~son[y] && fg) query(a,m,y,dep+1);//右子树不空且有必要搜索右子树时候搜索右子树
	}
}kd;

kd树模板

const int K = 5;
int n,m,idx;
struct Point {
	int id;
	int x[K];
	bool operator < (const Point &u) const {
		return x[idx]<u.x[idx];
	}
}po[Maxn];
double pow(double x){
	return 1.0*x*x;
}
double pow(int x){
	return 1.0*x*x;
}
struct PDP{
	double dis;
	Point p;
	bool operator<(const PDP pdp) const{
		if(dis!=pdp.dis) return dis< pdp.dis;
		else {
			for(int i = 0; i < K; i++)
				if(p.x[i] != pdp.p.x[i]) return p.x[i] < pdp.p.x[i];
			return false;
		}
	}
	PDP (double _dis,Point _p)
	{
		dis = _dis;
		p = _p;
	}
};
priority_queue<PDP> nq;
struct Tree{
	Point p[Maxn<<2];
	int son[Maxn<<2];

	void build (int l, int r, int u = 1, int dep = 0)
	{
		if(l>r) return;
		son[u] = r-l;
		son[u<<1] = son[u<<1|1] = -1;
		idx = dep%K;
		int mid = (l+r)>>1;
		nth_element(po+l,po+mid,po+r+1);
		p[u] = po[mid];
		build(l,mid-1,u<<1,dep+1);
		build(mid+1,r,u<<1|1,dep+1);
	}

	void query(Point a, int m, int u = 1, int dep = 0)
	{
		if(son[u]==-1) return ;
		PDP nd(0,p[u]);
		for(int i = 0; i < K; i++)
			nd.dis += pow(nd.p.x[i]-a.x[i]);
		int dim = dep%K, fg = 0;
		int x = u<<1, y = u<<1|1;
		if(a.x[dim]>=p[u].x[dim]) swap(x,y);
		if(~son[x]) query(a,m,x,dep+1);
		if(nq.size() < m) nq.push(nd),fg = 1;
		else {
			if(nd.dis < nq.top().dis) nq.pop(),nq.push(nd);
			if(pow(a.x[dim]-p[u].x[dim]) < nq.top().dis) fg = 1;
		}
		if(~son[y] && fg) query(a,m,y,dep+1);
	}
}kd;

下面是这个题的ac代码

//kd树+最小生成树
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<iostream>
#include<cmath>
#define Maxn 20008
#define Maxm 500008
using namespace std;

const int K = 5;//维度
int n,m,idx;
struct Point {
	int id;//节点编号
	int x[K];//对应每一个维度的坐标
	bool operator < (const Point &u) const {
		return x[idx]<u.x[idx];//按照第idx维坐标从小到大排列
	}
}po[Maxn];
double pow(double x){
	return 1.0*x*x;
}
double pow(int x){
	return 1.0*x*x;
}
struct PDP{
	double dis;//距离目标点的距离
	Point p;//这个点
	bool operator<(const PDP pdp) const{
		if(dis!=pdp.dis) return dis< pdp.dis;
		else {
			for(int i = 0; i < K; i++)
				if(p.x[i] != pdp.p.x[i]) return p.x[i] < pdp.p.x[i];
			return false;
		}
	}//按照距离排序，距离一样按照每一维度的从小到大排列
	PDP (double _dis,Point _p)
	{
		dis = _dis;
		p = _p;
	}//构造函数
};
priority_queue<PDP> nq;//优先队列保存于跟新距离某个点距离第k大的这些点
struct Tree{//kd树，因为一定是二叉树，所以可以用编号保存树
	Point p[Maxn<<2];//树的节点
	int son[Maxn<<2];//每个节点的孩子个数，用来判断是否到达根节点

	void build (int l, int r, int u = 1, int dep = 0)//建树
	{
		if(l>r) return;
		son[u] = r-l;
		son[u<<1] = son[u<<1|1] = -1;
		idx = dep%K;//维度划分方式
		int mid = (l+r)>>1;//以中间点来划分树
		nth_element(po+l,po+mid,po+r+1);//比mid对应第idx维度下的坐标小的都在左边，大的在右边。
		p[u] = po[mid];//定义节点的编号
		build(l,mid-1,u<<1,dep+1);
		build(mid+1,r,u<<1|1,dep+1);
	}

	void query(Point a, int m, int u = 1, int dep = 0)//查询距离a前m大的数
	{
		if(son[u]==-1) return ;
		PDP nd(0,p[u]);//判断根节点
		for(int i = 0; i < K; i++)
			nd.dis += pow(nd.p.x[i]-a.x[i]);//计算根节点到节点a的距离
		int dim = dep%K, fg = 0;//当前维度和是否需要继续向下判断
		int x = u<<1, y = u<<1|1;//左右孩子，每次都是先判断左孩子
		if(a.x[dim]>=p[u].x[dim]) swap(x,y);//如果这个点位于根节点的左孩子，那么先找左孩子肯定比较更容易找到解
		if(~son[x]) query(a,m,x,dep+1);//如果左孩子的值不等于-1即不空则查询左区间
		if(nq.size() < m) nq.push(nd),fg = 1;//如果队列中不足m个元素，则把这个点加入队列
		else {
			if(nd.dis < nq.top().dis) nq.pop(),nq.push(nd);//如果这个点的距离比当前队列中最大的那个还要小，则替换最大的
			if(pow(a.x[dim]-p[u].x[dim]) < nq.top().dis) fg = 1;//如果在这个维度上a距离分界点的距离都要大于队列中m个元素距离a的距离则没有必要再搜索右子树了。相反要搜索右子树，fg = 1;
		}
		if(~son[y] && fg) query(a,m,y,dep+1);//右子树不空且有必要搜索右子树时候搜索右子树
	}
}kd;
void print(Point &a)
{
	for(int j = 0; j < K; j++)
		printf("%d%c",a.x[j],j==K-1?'
':' ');
}
double E[Maxn];
int Ecnt,fa[Maxn];
int getfa(int x)
{
	if(fa[x]==x) return x;
	return fa[x] = getfa(fa[x]);
}
struct Edge{
	int u,v;
	double cost;
	bool operator <(const Edge e) const{
		if(cost != e.cost) return cost < e.cost;
		else if(u!=e.u) return u<e.u;
		else if(v!=e.v) return v<e.v;
		return false;
	}
}edge[Maxm];//存图，保存所有的边

void add(int u, int v, double cost){
	edge[Ecnt].u = u,edge[Ecnt].v = v,edge[Ecnt++].cost = cost;
}

bool cmp(Edge a, Edge b)
{
	return a.cost < b.cost;
}
double Kruskal(int n,int m)
{
	int u,v,x;
	double cost, ans = 0;
	sort(edge,edge+m,cmp);
	for(u = 0; u < n; u++) fa[u] = u,E[u] = -1;
	for(int i = 0; i < m; i++){
		u = edge[i].u, v = edge[i].v, cost = edge[i].cost;
		if(getfa(u) == getfa(v)) continue;
		ans += cost;
		E[u] = max(E[u],cost);
		E[v] = max(E[v],cost);
		fa[fa[u]] = fa[v];
	}
	return ans;
}//最小生成树
vector<int> ve[Maxn];
void init()
{
	Ecnt = 0;
	for(int i = 0; i < n; i++)	ve[i].clear();
}
inline double dis(Point _A, Point _B)
{
	double ret = 0;
	for(int i = 0; i < K; i++) ret += pow(_A.x[i]-_B.x[i]);
	return sqrt(ret);
}
double result[Maxn];
int main()
{
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d %d",&n,&m);
		for(int i = 0; i < n; i++){
			po[i].id = i;
			for(int j = 0; j < K; j++)
				scanf("%d",&po[i].x[j]);
		}
		kd.build(0,n-1);
		init();
		for(int i = 0; i < n; i++)
		{
			kd.query(po[i],min(m+1,n));
			int ori = po[i].id;
			for(int j = 0; !nq.empty();j++){
				Point tm = nq.top().p;
				nq.pop();
				double cost = dis(po[i],tm);
				if(ori != tm.id) add(ori,tm.id,cost);
			}
		}
		Kruskal(n,Ecnt);
		for(int i = 0; i < n; i++) result[i] = -1;
		for(int i = 0; i < n; i++) {
			int id = getfa(i);
			result[id] = max(result[id],E[i]);
		}
		sort(result,result+n);
		int num = n,t;
		for(t = 0; t < n; t++){
			if(result[t] <= 0) num--;
			else break;
		}
		printf("%d
",num);
		for(; t<n; t++){
			printf("%lf",result[t]);
			if(t<n-1) printf(" ");
		}
		puts("");
	}
	return 0;
}