求素数（单个&线性筛）
单个素数判断
枚举看n是否能整除i。(O(sqrt{n}))
bool Prime(int x) {
if (x < 2) return 0;
for (int i = 2; i * i <= x; ++i)
if (x % i == 0) return 0;
return 1;
}
线性筛
保证每个和数只被最小的质因子筛掉。(O(n))
int prime[N], tot;//记录素数
bool v[N];//被标记说明不是素数
void Primes(int n) {
v[0] = v[1] = 1;//0和1不是素数
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
if (!v[i]) prime[++tot] = i;//没有被标记过，是素数
for (int j = 1; j <= tot && i * prime[j] <= n/*这里比限制n大的就不用筛了*/; ++j) {
v[i*prime[j]] = 1;
if (i % prime[j] == 0) break;//只被最小的质因子筛掉。
}
}
}
求欧拉函数（单个&线性筛）
欧拉函数
- 1～N 中与 N 互质的数的个数称为欧拉函数，记为 (varphi (N))
- 考虑 (varphi (p^k) (pin prime))的取值是总数减去不互质的数的个数，不互质的数有如下 (p^{k-1}) 个
[1 imes p,2 imes p,cdots ,p^{k-1} imes p
]
- 所以
[varphi (p^k)=p^k-p^{k-1}=p^k(1-frac{1}{p})
]
- 再然后可以根据中国剩余定理证得欧拉函数是积性函数，所以
[varphi (p^{c_1}p^{c_2}cdots p^{c_m})=varphi (p^{c_1})varphi (p^{c_m})cdots varphi (p^{c_m})
]
- 根据算术基本定理
[N = p_ 1^ {c_ 1}p_ 2^{c_ 2}...p_ m^{c_m}
]
- 则
[varphi (N)=N imes frac{p_1-1}{p_1} imes frac{p_2-1}{p_2} imes ... imesfrac{p_m-1}{p_m}=N imes prod_{质数p|N}(1-frac{1}{p})
]
单个求法
- 根据欧拉函数的计算式，分解质因数即可进行求解。(O(sqrt{n}))
int Phi(int n) {
int ans = n;
for (int i = 2; i * i <= n; ++i)
if (n % i == 0) {
ans = ans / i * (i - 1);//根据计算式计算
while (n % i == 0) n /= i;
}
if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
//如果最后n>1，则为一个大于根号n的一个质因子
return ans;
}
线性筛欧拉函数
-
欧拉函数是积性函数，可以线性筛
-
有式子
[varphi (i*p)=
left{egin{matrix}
varphi (p) varphi (i),gcd(p,i)=1
\
p imes varphi (i),gcd(p,i)
eq 1
end{matrix}
ight.]
- 由于积性函数，当 (p,i) 互质时显然成立
- (p,i) 不互质，因为 (p) 是质数，(i) 一定有 (p) 这个因子，所以 (i) 和 (i imes p) 一定有相同的质因子，只是在 (p) 这一项的指数不一样
- 那么我们可以将其按照欧拉函数的计算式展开，并相除，可得：
[frac{varphi (i imes p)}{varphi (i)}=frac{i imes p imes prod_{i=1}^m(1-frac{1}{p_i})}{i imes prod_{i=1}^{m}(1-frac{1}{p_i})}=frac{i imes p}{i}=p
]
- 所以
[varphi (i imes p)=varphi (i) imes p
]
- 原式得证
- 写出代码就很简单了
void Euler(int n) {
phi[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
if (!v[i]) prime[++tot] = i, phi[i] = i - 1;
for (int j = 1; j <= tot && i * prime[j] <= n; ++j) {
v[i*prime[j]] = 1;
if (i % prime[j]) phi[i*prime[j]] = phi[i] * phi[prime[j]];
else { phi[i*prime[j]] = phi[i] * prime[j]; break; }
}
}
}
扩展欧几里得算法
- 用途：求 (ax+by=gcd(a, b)) 的特解
- 证明：
[bx'+amod bcdot y'=gcd(b,amod b)
]
[bx'+(a-left lfloor frac{a}{b}
ight
floor)y'=gcd(b,amod b)
]
[ay'+b(x'-left lfloor frac{a}{b}
ight
floor y')=gcd(b,amod b)
]
所以得出
[x=y',y=x'-left lfloor frac{a}{b}
ight
floor y'
]
Code
int Exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
if (b == 0) return x = 1, y = 0, a;
int d = Exgcd(b, a % b, x, y);
int z = x; x = y; y = z - a / b * y;
return d;
}
- 上述代码 x,y 是以引用的方式传递的，此函数求出方程 (ax+by=gcd(a, b)) 的一组特解并返回 a,b 的最大公约数。还有一种较为简便的写法，将上述最后一个式子的x'替换成y'，y'替换成x'。得出以下结论：
[x=x',y=y'-left lfloor frac{a}{b}
ight
floor x'
]
int Exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
if (!b) return x = 1, y = 0, a;
int d = Exgcd(b, a % b, y, x);//这里x，y是反着的
y -= a / b * x;
return d;
}
乘法逆元
- 定义：若整数 (a,m) 互质，并且 (b|a)，则存在一个 (x)，使得 (a/bequiv a cdot xpmod{m})，称 (x) 为 (b) 的模 (m) 乘法逆元，记为 (b^{-1}pmod{m})
- 求法：(b^{-1} = b^{varphi (p)-1})
- 线性求法：
- 推导：
[ ext{设 } m=qcdot b+r
]
[qcdot b+requiv 0pmod{m}
]
[qcdot r^{-1}+b^{-1}equiv 0pmod{m}
]
[b^{-1}equiv -qcdot r^{-1}pmod{m}
]
[ ext{由 }q=m/b, r=mmod b ext{ 得}
]
[b^{-1}equiv -m/bcdot (mmod b)^{-1}pmod{m}
]
写出来就是inv[i] = (-M / i * inv[M%i] % M + M) % M;
inv[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i)
inv[i] = 1ll * (M - M / i) * inv[M%i] % M;
排列、组合
- 排列数：
[A_n^m = frac{n!}{(n-m)!}
]
- 组合数：
[C_n^m=frac{n!}{m!(n-m)!}
]
- 根据式子算就好了
Code
int Pow(int a, int k, int ans = 1) {
for (; k; k >>= 1, a = 1LL * a * a % M)
if (k & 1) ans = 1LL * ans * a % M;
return ans;
}
void Pre(int n) {//fac是阶乘，inv是逆元，fi是阶乘的逆元
fac[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
fac[i] = 1LL * fac[i-1] * i % M;
fai[n] = Pow(fac[n], M - 2);
for (int i = n; i >= 1; --i)
fai[i-1] = 1LL * fai[i] * i % M;
}
int A(int n, int m) {//排列
return fac[n] * fai[n-m] % M;
}
int C(int n, int m) {//组合
return fac[n] * fai[m] % M * fai[n-m] % M;
}