考了好几次斯特林数了，该认真学学了
第二类斯特林数
- 也叫斯特林子集数 (egin{Bmatrix} n\k end{Bmatrix})，也可记做 (S(n,k))，表示将 n 个两两不同的元素，划分为 k 个互不区分的非空子集的方案数。
递推式
[egin{Bmatrix} n\k end{Bmatrix}=egin{Bmatrix} n-1\k-1 end{Bmatrix}+kegin{Bmatrix} n-1\k end{Bmatrix}
]
-
边界是 (egin{Bmatrix} n\0 end{Bmatrix}=[n=0])
-
证明：一个新的数可以当作一个新的子集的方案数，加上放进原来有的子集的方案树
通项公式
[egin{Bmatrix} n\k end{Bmatrix}=sum_{i=0}^{k}frac{(-1)^{k-i}i^n}{i!(m-i)!}
]
-
证明一下
-
设 (G_i) 表示将 n 个两两不同的元素，划分为 i 个两两不同的可空子集的方案数，有 (G_i=i^n)
-
设 (F_i) 表示将 n 个两两不同的元素，划分为 i 个两两不同的非空子集的方案数，有
[G_i=sum_{j=0}^{i}inom{i}{j}F_j
]
-
这个可以看作是枚举有多少个子集是非空的，然后从k个里选i个子集为非空，再乘上 (F_i)
-
然后根据二项式反演
[egin{align*}
F_i &=sum_{j=0}^{i}(-1)^{i-j}inom{i}{j}G_j \
&= sum_{j=0}^{i}(-1)^{i-j}inom{i}{j}j^n\
&= sum_{j=0}^{i}frac{(-1)^{i-j}j^ni!}{j!(i-j)!}
end{align*}]
-
然后发现 (F_i) 是区分子集，第二类斯特林数是不区分，这样 (F_i) 就是 (egin{Bmatrix} n\i end{Bmatrix}) 的 (i!) 倍
-
所以得到
[egin{Bmatrix} n\i end{Bmatrix}=sum_{j=0}^{i}frac{(-1)^{i-j}j^n}{j!(i-j)!}
]
第一类斯特林数
-
也叫斯特林轮换数 (egin{bmatrix}n\k end{bmatrix}) ，也可记做 (s(n,k))，表示将 n 个两两不同的元素，划分为 k 个互不区分的非空轮换的方案数。
-
一个轮换就是一个首尾相接的环形排列
递推式
[egin{bmatrix}n\k end{bmatrix}=egin{bmatrix}n-1\k-1 end{bmatrix}+(n-1)egin{bmatrix}n-1\k end{bmatrix}
]
- 证明：第n个元素放到新的轮换的方案数，加上放到前面每个数旁边的方案数
斯特林反演
[F_i=sum_{j=0}^{i}egin{Bmatrix}i\ jend{Bmatrix}G_jLeftrightarrow G_i=sum_{j=0}^{i}(-1)^{i-j}egin{bmatrix}i\ jend{bmatrix}F_j
]
[F_i=sum_{j=0}^{i}egin{bmatrix}i\ jend{bmatrix}G_jLeftrightarrow G_i=sum_{j=0}^{i}(-1)^{i-j}egin{Bmatrix}i\ jend{Bmatrix}F_j
]
- 跟二项式反演挺像，式子不难记。