【排序】堆排序

什么是堆

堆是一棵完全二叉树，可以用数组来存储。比如一个数组[3, 8, 15, 31, 24]，具体为一个堆，它的逻辑结构如下所示：（图来自https://www.cnblogs.com/jingmoxukong/p/4303826.html#堆的概念，侵删）

#### 最大堆和最小堆

• 最大堆：根结点的值是所有堆结点值中最大者，且以每个节点为根的所有子堆都为最大堆。
• 最小堆：根结点的值是所有堆结点值中最小者，且以每个节点为根的所有子堆都为最小堆。

可以从图中发现最大堆/最小堆中，一个节点值的大小与它所在的深度无关，只与该节点的父节点有关。更简单说，对于最大堆，从某一个节点往下直到叶子节点，途中获得的值都在减少，比如[7, 6, 4].

堆的性质

由于堆在逻辑结构上实际为一棵完全二叉树，所以一个节点下标为p的两个子节点分别为：

1. 2 * p + 1
2. 2 * p + 2

如何将堆调整为最大堆

1. 上面已经提到最大堆是长什么样子的了，下面给出调整最大堆的过程图：
   

2. 用文字描述一下调整过程：

   记堆的数据存放在一个数组nums中，N为数组的长度
   1. 获取树中最后一个不是叶子节点的那个节点下标p
   2. 开始循环
       while p != 0:
           # PercDown是一个函数，用于调整以nums[p]为根的子堆到最大堆
           PercDown(nums, p, N)
           p--
   

3. 那么又有一个问题，PercDown(nums, p, N)函数怎么工作的：
   

PercDown函数的代码

void PercDown( int A[], int p, int N )
{ 
    /* 将N个元素的数组中以A[p]为根的子堆调整为最大堆 */
    int Parent, Child;
    int X;

    /* 取出根结点存放的值 */
    X = A[p]; 
    for (Parent = p; Parent*2+1 < N; Parent = Child) {
        Child = Parent * 2 + 1;     // 左节点下标
        if( (Child!=N-1) && (A[Child]<A[Child+1]) )
            Child++;  /* Child指向左右子结点的较大者 */
        if( X >= A[Child] ) break; /* 找到了合适位置 */
        else  /* 下滤X */
            A[Parent] = A[Child];
    }
    A[Parent] = X;
}

利用最大堆排序

那么已经调整好最大堆，怎么排序呢？聪明的办法是将nums[0]和nums最后一个数交换，然后将最大的那个数排除在nums外（可以用减少个数之类的办法），在利用PercDown调整以nums[0]为根的子堆将剩余的数重新调整为最大堆，还是上个图：

完整代码

#include <iostream>
using namespace std;

void Swap( int *a, int *b )
{
     int t = *a; 
     *a = *b; 
     *b = t;
}
 
void PercDown( int nums[], int p, int N )
{ 
    /* 将N个元素的数组中以nums[p]为根的子堆调整为最大堆 */
    int Parent, Child;
    int X;

    /* 取出根结点存放的值 */
    X = nums[p]; 
    for (Parent = p; Parent*2+1 < N; Parent = Child) {
        Child = Parent * 2 + 1;
        if ((Child!=N-1) && (nums[Child] < nums[Child+1]) )
            Child++;  /* Child指向左右子结点的较大者 */

        /* 找到了合适位置退出 */
        if (X >= nums[Child]) 
            break; 
        /* 下滤X */
        else  
            nums[Parent] = nums[Child];
    }
    nums[Parent] = X;
}

void HeapSort(int nums[], int N) 
{ 
    /* 堆排序入口 */
    int i;
    
    /* 建立最大堆 */
    for (i = N/2-1; i >= 0; i--)
        PercDown(nums, i, N);
    
    for (i=N-1; i>0; i--) 
    {
        /* 删除最大堆顶 */
        Swap(&nums[0], &nums[i]); 
        PercDown(nums, 0, i );
    }
}

int main()
{
    int nums[] = {4,3,1,2};
    HeapSort(nums, 4);
    for(int i : nums)
        cout << i << ' ';
}