浅谈扩展欧几里得算法

众所周知，扩展欧几里得算法（下文统称Exgcd）能求解二元一次方程的整数解，乘法逆元、线性模方程等。本文我将简单的介绍该算法。

形如ax+by=gcd(a,b) 的方程，我们可以用Exgcd求出其最小整数解。我们考虑如何求解。

当b=0时，方程右边的值为a，那么显然可得x=1，y=0。

现在假设当前方程为ax1+by1=gcd(a,b),我们已经求得方程bx2+a%by2=gcd(a,b)的解为x2,y2,我们考虑通过x2,y2推出x1,y1的值、

解法如下：

因此，我们在gcd算法的代码上稍加改动，即可完成Exgcd的代码实现。

Exgcd算法的时间复杂度与gcd相等，最坏情况下近似于O(logn)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if (b == 0) {
        x = 1; y = 0;
        return a;
    }
    int gcd = exgcd(b, a % b, x, y);
    int x2 = x, y2 = y;
    x = y2;
    y = x2 - (a / b) * y2;
    return gcd;
}
int main() {
    int a, b, x, y;
    scanf("%d%d", &a, &b);
    exgcd(a, b, x, y);
    printf("%d %d
", x, y);    
    return 0;
}

那么，我们来看看Exgcd的实际应用

1.求解线性模方程

参考例题【NOIP2012】同余方程

引理：同余方程ax≡b(mod p)有解，当且仅当gcd(a,p)|b，在本题中，b=1，即gcd(a,p)=1;

变形，得到方程ax-py=gcd(a,p)，这是Exgcd的一般形式，我们套用算法即可。

注意，本题要求出方程的最小正整数解，而Exgcd求出的是最小整数解，所以我们将答案加上p在mod p即可。

代码略

2.求解乘法逆元

参考例题【洛谷3811】乘法逆元

乘法逆元的定义：当ax≡1 (mod p)且gcd(a,p)=1时，我们称a关于模p的逆元为x

这道题与上个例题非常相似，我们可以用同样的方法求解。

注意，在洛谷上本题数据范围较大，使用Exgcd总的时间复杂度为O(nlogn)，不能通过本题。

求多个数的乘法逆元存在一种线性递推的方法可以在O(n)的时间内解决，由于本博客主要讲解Exgcd，所以不再赘述。