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  • 高斯消元(模版 + 理解 )

    高斯消元快速入门

    一、基本描述

    学习一个算法/技能,首先要知道它是干什么的,那么高斯消元是干啥的呢?

    高斯消元主要用来求解线性方程组,也可以求解矩阵的秩,矩阵的逆。在ACM中是一个有力的数学武器.

    它的时间复杂度是n^3,主要与方程组的个数,未知数的个数有关。

    那么什么是线性方程组呢? 
    简而言之就是有多个未知数,并且每个未知数的次数均为一次,这样多个未知数组成的方程组为线性方程组。

    二、算法过程

    其实高斯消元的过程就是手算解方程组的过程,回忆一下小的时候怎么求解方程组:加减消元,消去未知数,如果有多个未知数,就一直消去,直到得到类似kx=b(k和b为常数,x为未知数)的式子,就可以求解出未知数x,然后我们回代,依次求解出各个未知数的值,就解完了方程组。 
    换句话说,分两步: 
    1. 加减消元 
    2. 回代求未知数值

    高斯消元就是这样的一个过程。 
    下面通过一个小例子来具体说明

    0.求解方程组

    有这样一个三元一次方程组: 

     
    2x+y+z=1
    6x+2y+z=1
    2x+2y+z=7

    1.消去x

    ×(3)+①×(−3)+②得到 
    0xy2z=40x−y−2z=−4

    +①+③得到 
    0x+3y+2z=80x+3y+2z=8

    从而得到 

     
    2x+y+z=1
    0xy2z=4
    0x+3y+2z=8

    2.消去y

    ×3+②×3+③得到 
    0x+0y4z=40x+0y−4z=−4

    进而得到 

     
    2x+y+z=1
    0xy2z=4
    0x+0y4z=4

    至此,我们已经求解出来了 

     
    z=1

    下一步我们进行回代过程

    3.回代求解y

    z=1z=1带入②,求得 

     
    y=2


    进而得到 

     
    2x+y+z=1
    y=2
    z=1

    4.回代求解x

    z=1,y=2z=1,y=2带入①,求得 

     
    x=1

    最终得到 

     x=1
    y=2
    z=1

    至此,整个方程组就求解完毕了。

    三、再解算法

    对于方程组,其系数是具体存在矩阵(数组)里的,下面在给出实际在矩阵中的表示(很熟悉就可以跳过不看啦~)

    0.求解方程组

              X           Y        Z         VAL

              2            1         1          1

              6             2         1          -1

             -2             2          1          7

    1.消去x

              X            Y          Z           VAL

             2              1          1             1

             0                -1        -2         -4

             0               3           2          8

    2.消去y

             X           Y            Z          VAL

             2             1           1             1

             0             -1           -2           -4

             0             0            -4            -4

    3.回代求解y

    回代的时候,记录各个变量的结果将保存在另外一个数组当中,故保存矩阵的数组值不会发生改变,该矩阵主要进行消元过程。 

     

           X           Y            Z          VAL

             2             1           1             1

             0             -1           -2           -4

             0             0            -4            -4


    四、再再解算法

    说了这么多,其实有一些情况我们还没有说到。 
    通过上述的消元方法,其实我们比较希望得到的是一个上三角阵(省去了最后的val) 

             2             1           1            

             0             -1           -2          

             0             0            -4           

    下面问题来了: 
    Q1:系数不一定是整数啊? 
    A1:这时候数组就要用到浮点数了!不能是整数!

    Q2:什么时候无解啊? 
    A2:消元完了,发现有一行系数都为0,但是常数项不为0,当然无解啦!比如: 

     

           X           Y            Z          VAL

             2             1           1             1

             0             -1           -2           -4

             0             0            0           5

    Q3:什么时候多解啊? 
    A3:消元完了,发现有好几行系数为0,常数项也为0,这样就多解了!有几行为全为0,就有几个自由元,所谓自由元,就是这些变量的值可以随意取,有无数种情况可以满足给出的方程组,比如: 

     

           X           Y            Z          VAL

             2             1           1          1

             0            0           0           0

             0             0            0           0


    您说这x,y,z不是无数组解嘛!

    Q4:那什么时候解是唯一的啊! 
    A4:您做一下排除法,不满足2和3的,不就是解释唯一的嘛!其实也就是说我们的系数矩阵可以化成上三角阵。

    五、代码实现

    啰里啰嗦说了一堆,想必算法的流程已经熟悉了,代码如何实现呢? 
    更多类型的 高斯消元模板

    #include<stdio.h>
        #include<algorithm>
        #include<iostream>
        #include<string.h>
        #include<math.h>
        using namespace std;
        const int MAXN=50;
        int a[MAXN][MAXN];//增广矩阵
        int x[MAXN];//解集
        bool free_x[MAXN];//标记是否是不确定的变元
        int gcd(int a,int b){
            if(b == 0) return a; else return gcd(b,a%b);
        }
        inline int lcm(int a,int b){
            return a/gcd(a,b)*b;//先除后乘防溢出
        }
        // 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解,但无整数解,
        //-1表示无解,0表示唯一解,大于0表示无穷解,并返回自由变元的个数)
        //有equ个方程,var个变元。增广矩阵行数为equ,分别为0到equ-1,列数为var+1,分别为0到var.
        int Gauss(int equ,int var){
            int i,j,k;
            int max_r;// 当前这列绝对值最大的行.
            int col;//当前处理的列
            int ta,tb;
            int LCM;
            int temp;
            int free_x_num;
            int free_index;
    
            for(int i=0;i<=var;i++){
                x[i]=0;
                free_x[i]=true;
            }
    
            //转换为阶梯阵.
            col=0; // 当前处理的列
            for(k = 0;k < equ && col < var;k++,col++){// 枚举当前处理的行.
            // 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差)
                max_r=k;
                for(i=k+1;i<equ;i++){
                    if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col])) max_r=i;
                }
                if(max_r!=k){// 与第k行交换.
                    for(j=k;j<var+1;j++) swap(a[k][j],a[max_r][j]);
                }
                if(a[k][col]==0){// 说明该col列第k行以下全是0了,则处理当前行的下一列.
                    k--;
                    continue;
                }
                for(i=k+1;i<equ;i++){// 枚举要删去的行.
                    if(a[i][col]!=0){
                        LCM = lcm(abs(a[i][col]),abs(a[k][col]));
                        ta = LCM/abs(a[i][col]);
                        tb = LCM/abs(a[k][col]);
                        if(a[i][col]*a[k][col]<0)tb=-tb;//异号的情况是相加
                        for(j=col;j<var+1;j++){
                            a[i][j] = a[i][j]*ta-a[k][j]*tb;
                        }
                    }
                }
            }
            // 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0).
            for (i = k; i < equ; i++){ // 对于无穷解来说,如果要判断哪些是自由变元,那么初等行变换中的交换就会影响,则要记录交换.
                if (a[i][col] != 0) return -1;
            }
            // 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行,即说明没有形成严格的上三角阵.
            // 且出现的行数即为自由变元的个数.
            if (k < var){
                return var - k; // 自由变元有var - k个.
            }
            // 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.
            // 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.
            for (i = var - 1; i >= 0; i--){
                temp = a[i][var];
                for (j = i + 1; j < var; j++){
                    if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j];
                }
                if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 说明有浮点数解,但无整数解.
                x[i] = temp / a[i][i];
            }
            return 0;
        }
        int main(void){
        //    freopen("in.txt", "r", stdin);
        //    freopen("out.txt","w",stdout);
            int i, j;
            int equ,var;
            while (scanf("%d %d", &equ, &var) != EOF){
                memset(a, 0, sizeof(a));
                for (i = 0; i < equ; i++){
                    for (j = 0; j < var + 1; j++){
                        scanf("%d", &a[i][j]);
                    }
                }
                int free_num = Gauss(equ,var);
                if (free_num == -1) printf("无解!
    ");
                else if (free_num == -2) printf("有浮点数解,无整数解!
    ");
                else if (free_num > 0){
                    printf("无穷多解! 自由变元个数为%d
    ", free_num);
                    for (i = 0; i < var; i++){
                        if (free_x[i]) printf("x%d 是不确定的
    ", i + 1);
                        else printf("x%d: %d
    ", i + 1, x[i]);
                    }
                }else{
                    for (i = 0; i < var; i++){
                        printf("x%d: %d
    ", i + 1, x[i]);
                    }
                }
                printf("
    ");
            }
            return 0;
        }
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