宇宙条面试题-枪手打靶问题

问题描述

每次打靶会有0到10的得分，问打10次恰好得90分有多少种打法

问题简化

每次打靶会有0到2分的得分，问打3次恰好得4分有多少种打法

分析

打一次

得分情况组合方式
0分（0）

1分（1）

2分（2）

打俩次

得分情况组合方式

0分 （0，0）

1分 （1，0），（0，1）

2分 （2，0），（1，1），（0，2）

3分 （2，1），（1，2）

4分（2，2）

由上可以看出，计算俩枪打完后得分组合数时，必须先把第一枪的得分组合数计算出来。

第二枪开完后得2分的组合数

第一枪得0分组合数 + 第一枪得1分得组合数 + 第二枪得2分得组合数

第二枪开完后得3分的组合数

第一枪 得2分组合数 + 第一枪得1分得组合数

由此有下面表格

1、行表示开枪的次数

2、列表示组合数

3、列下表表示得分

	0	1	2	3	4	5	6
0 枪	0	0	0	0	0	0	0
1枪	1	1	0	0	0	0	0
2枪	1	2	3	2	1	0	0
3枪	1	3	6	7	6	3	1

泛化

每次打靶会有0到k分的得分，问打i次恰好得j分有多少种打法

条件约束 0<=j<=k*i

1、每一枪得分范围是0-k

2、i枪得分范围是i*k

3、（ i - 1 ）枪得分范围是 k *（ i - 1）

设 C[i][j] 表示 打完i枪后，得分恰好是j分的打法

C [ i ][ j ] = C[ i - 1 ][ j - 0 ] + C[i-1][j-1]+.......+C[i-1][ j - k ]

公式含义

C[ i - 1 ][ j ] 是i-1枪总得j分，第i枪得0分

C[i-1][j-1] 是i-1枪总的j-1分，第i枪得1分

C[i-1][ j - k] 是i-1枪得j-k分，第i枪得k分

由此有代码如下

#include <string>
#include<iostream>
#include <sstream>
#include<map>
#include<set>
#include<memory.h>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#include<stack>
#include<math.h>
#include<iomanip>
#include<bitset>
#include"math.h"
namespace cc
{
	using std::cout;
	using std::endl;
	using std::cin;
	using std::map;
	using std::set;
	using std::vector;
	using std::string;
	using std::sort;
	using std::priority_queue;
	using std::greater;
	using std::vector;
	using std::swap;
	using std::stack;
	using std::bitset;
	using std::stringstream;
	using std::abs;

	int solve(int num, int score) {
		const int MAX_SCORE = 100;
		const int MAX_NUM = 10;
		int c[MAX_NUM][MAX_SCORE];
		//一枪可以得分0-k
		//const int k = 9;
		
		const int k = 2;
		if (k * num < score || score < 0 || score >= MAX_SCORE) {
			cout << "error input" << endl;
			return -1;
		}
		memset(c, 0, sizeof(c));
		//
		for (int j = 0; j <= k; j++) {
			//第一枪
			c[1][j] = 1;
		}
		//得分0
		for (int j = 1; j <= num; j++) {
			c[j][0] = 1;
		}

		//第i枪
		for (int i = 2; i <= num;i++) {
			//当前最大得分是i * k 
			int maxScore = i * k;
			//j分
			for (int j = 1; j <= maxScore;j++) {
				//当前j得分组合数
				int sum = 0;
				for (int t = 0; t <= k; t++) {
					sum = sum + c[i - 1][j - t];
				}
				c[i][j] = sum;
			}
		}
		return c[num][score];
	}
}


int main()
{

#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("d://1.text", "r", stdin);
	//freopen("d://1.out","w",stdout);
#endif // !ONLINE_JUDGE
	int num = 3, score = 5;
	int ans = cc::solve(num,score);
	std::cout << ans << std::endl;
	return 0;
}

优化

公式1

C [ i ][ j ] = C[ i - 1 ][ j ] + C[i-1][j-1]+......+C[i-1][ j - (k-1)]+C[i-1][ j - k]

忽略下标i，项的排列如下

   	j, j-1,  j-2,  j-3....  j-(k-1)，j-k

当j=j+1时

项的排列如下

j+1,   （j+1)-1,  (j+1)-2，（j+1)-3，(j+1)-4..... (j +1) - (k-1)，(j+1) - k

化简有

j+1,   j,  j-1，j-1，..... j-(k-2)，j - (k-1)

所以有

C [i][j+1] = C[i-1][j+1] + C[i][j] - C[i-1][j+1-（k+1）]
即

C [i][j] = C[i-1][j] + C[i][j-1] - C[i-1][j-（k+1）]

代码如下：

#include "pch.h"
#include 
#include
#include 
#include

更优化一点

	0	1	2	3	4	5	6
0 枪	0	0	0	0	0	0	0
1枪	1	1	0	0	0	0	0
2枪	1	2	3	2	1	0	0
3枪	1	3	6	7	6	3	1

由上有，找规律