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Algorand-proof
Algorand 由图灵奖获得者 Micali 提出的，其共识机制被称为 BA* ，是PBFT 算法的改进。BA* 算法分为三阶段：区块生成、GC 和 BBA*。算法的停止时间是不确定的，但大概率保证在有限步内结束。

协议里有两种角色：Leader 和 Verifier
- Leader：在区块生成阶段创建区块；
- Verifier：在之后的每一个阶段里，对区块进行共识。
下面对 BA* 协议的细节做一个具体介绍。

符号
- $(r,s)$ ：第 r 轮第 s步
- $ell^r$ ：第 r 轮的 leader
- $SV^{r,s}$ ： $(r,s)$ 的 verifier 集合。如果 s=1，则为 potential leader 集合
- $HSV^{r,s}$ 和 $MSV^{r,s}$ ： $(r, s)$ 的诚实 Verifier 和恶意 Verifier 集合
- $B_i^r$ ：第 r 轮里节点 i 生成的区块
- $B_epsilon$ ：空区块。生成空区块的那一轮是不存在leader的。
- $sk_i^{r,s}$ ：节点 i 在 $(r,s)$ 签名消息所用的临时密钥。每个 $(r,s)$ 都有对应的临时密钥。
- $sigma_i^{r,s}$ ： i 的签名 $SIG_i(r,s,Q^{r-1})$ ，用于证明 $iin SV^{r,s}$
- $m_i^{r,s}$ ：节点 i 在 $(r,s)$ 广播的消息。根据 $s$ 不同，消息格式也不一样
  
  $s=1$ ： $m_i^{r,1}=(B_i^r, esig_i(H(B_i^r)),sigma_i^{r,1})$
  
  $s=2,3$ ： $m_i^{r,s}=(ESIG_i(v_i),sigma_i^{r,s})$
  
  $sgeq 4$ ： $m_i^{r,s}=(ESIG_i(b_i),ESIG_i(v_i),sigma_i^{r,s})$
- $PK^r$ ：在第 r 轮时已加入系统的所有节点的公钥集合
基本概念

种子

$Q^r$ 是第 r 轮的种子，用于选举 Leader 和 Verifier。 $Q^r$ 的计算方式如下：
- 如果 $B^{r-1}$ 是合法区块，则 $Q^r=H(SIG_{ell^r}(Q^{r-1}),r)$
- 如果 $B^{r-1}=B_epsilon$ ，即空区块，则 $Q^r=H(Q^{r-1}, r)$
Leader 选举

对于 $forall iin PK^{r-k}$ ，计算 $.H(SIG_i(r,1,Q^{r-1}))leq p$ 如果满足，则 i 为 potential leader。

其中 $H(sigma_i^{r,1})$ 最小的节点为真正的 leader。

Verifier 选举

Verifier 选举的方式和 Leader 选举的方式一样：对于 $forall iin PK^{r-k}$ ，计算 $.H(SIG_i(r,s,Q^{r-1}))leq p'$ 如果满足，则 i 为 Verifier

区块结构

区块结构不是协议重点，但还是提一下。
- 如果 $B^r$ 是合法区块，则 $B^r=(r,PAY^r,SIG_{ell^r}(Q^{r-1}),H(B^{r-1}))$
- 如果 $B^r=B_epsilon$ ，即空区块，则 $B^r=(r,emptyset,Q^{r-1},H(B^{r-1}))$
BA*共识

BA*由三个部分组成
1. 生成区块（s=1，即第一步）：所有节点检查自己是不是potential leader，如果是，则生成区块并广播
2. GC协议（2≤s≤3）：有点像PBFT的后两个阶段，verifier 会生成1个二进制值
3. BBA（s≥4）：BBA共识的修改版。每次 BBA都由3步组成，会不断地循环。什么时候结束是不确定的，依概率结束。
BA*将 leader 所生成的区块映射成二进制值，分别表示区块合法与否。
- 合法：共识结束后生成一个正常区块
- 不合法：共识结束后生成空区块（ $B_epsilon$ ）
约定

假设
1. 每一步中，都有 $|HSV^{r,s}|>2{MSV^{r,s}}|$ ，即诚实Verifier比例大于Verifier集合的2/3。（P31.Parameters第1点）
2. 对于 $jin HSV^{r,s'}$ 发的消息，最多经过 $lambda$ 时间能被诚实节点收到。（P45第6行）
执行前提

$s=1$ ：节点 i 根据「Leader选举规则」检查自己是不是 potential leader。如果不是，结束该 step，否则执行相应规则。

$sgeq 2$ ：节点 i 根据「Verifier选举规则」检查自己是不是 vefier。如果不是，结束该 step，否则执行相应规则。

下文协议细节描述里，默认有这些检查。

签名

$esig_i$ 和 $ESG_i$ 都表示用当前 $(r,s)$ 的临时密钥来签名消息。

Step 的开始和结束

开始时间：一个节点在达成共识 $B^{r-1}$ 后，会同时进入每个Step（论文 P44.Lemma 5.5(a)）。但并不是所有节点同时开始。
- 设第一个诚实节点达成共识 $B^{r-1}$ 的时间是 $T^r$ ，则在 $[T^r, T^r+lambda]$ 时间内，所有的诚实节点都会达成共识 $B^{r-1}$ 。
- 为什么是 $[T^r, T^r+lambda]$ ，见分析的 2.1.a 和 2.1.b（论文 p50-52）
结束时间：Step 结束的条件有两种
- 达成 Ending Condition 条件
- 耗尽等待时间：第s步的等待时间为 $t_s=2slambda-3+Lambda$ ， $lambda$ 表示 $m^{r,s}$ 的广播时间上限， $lambda$ 表示 $B^r$ 的广播时间上限。【但为什么是 $2lambda$ ?】
  
  $s=1$ 时没有等待时间，因为不需要接收消息。
  
  论文中默认等待 $t_s$ 后，能收到所有诚实节点在小于 $s$ 的step里发送的消息。
Step 1 生成区块

这一步生成区块并广播
1. 生成区块 $B_i^r$
2. 生成 $m_i^{r,1}=(B_i^r, esig_i(H(B_i^r)),sigma_i^{r,1})$ 。其中 $esig_i(H(B_i^r))$ 表示用 $sk_i^{r,1}$ 进行签名的，签名完后销毁 $sk_i^{r,1}$ 。
3. 广播 $m_i^{r,1}$ 和 $B_i^r$
备注
- 其他节点通过 $sigma_i^{r,s}$ 验证是否有 $iin SV^{r,1}$ ，以检查 i 是否有资格进行该步。
- 敌手收到所有的 $m_i^{r,1}$ 后，就能知道谁是leader，并立即控制它广播新的 $m_i^{r,1}$ ，阻止它原来的 $m_i^{r,1}$ 广播出去。这样敌手就可以控制每一轮的 leader。广播 $m_i^{r,1}$ 后销毁 $sk_i^{r,1}$ 就是为了避免这种情况发生，因为即使敌手控制了leader，也无法让他发送新的 $m_i^{r,1}$ 。
GC

Step 2：GC第一步
1. 从收到的多个 $m_j^{r,1}$ 里找到 $ell^r$ ，即 $H(sigma_j^{r,1})$ 最小的节点。
2. 检查 $ell^{r}$ 发来的区块 $B_{ell^r}^{r}$ 的合法性：若合法，令 $v_i'=H(B_{ell^r}^{r})$ ；若不合法，令 $v_i'=perp$ 。
3. 广播 $m_i^{r,2}=(ESIG_i(v_i'),sigma_i^{r,2})$
备注
- $v_i'$ 是 $GC$ 协议要共识的值，在 $BBA$ 协议中不会用到。
- 整个协议里只有这一步检查 Leader 和区块的合法性
Step 3：GC第二步
1. 在收到的 $m_j^{r,2}$ 中，如果有超过 2/3 的 $(ESIG_j(v'),sigma_j^{r,2})$ （他们的 $v_j'$ 全部相同），则令 $m_i^{r,3}=(ESIG_i(v'),sigma_i^{r,3})$ ；否则，则令 $m_i^{r,i}=(ESIG_i(perp),sigma_i^{r,3})$
2. 广播 $m_i^{r,3}$
Step 4：GC输出
1. 收到的 $m_j^{r,3}$ 中，有 3 种可能出现的情况
  
  如果有超过 $2/3$ 的 $(ESIG_j(v'),sigma_j^{r,3})$ ，则令 $v_i=v', b_i=0$
  
  如果有超过 $1/3$ 的 $(ESIG_j(v'),sigma_j^{r,3})$ ，且 $v' eqperp$ ，则令 $v_i=v', b_i=1$ 。这里可以保证只有唯一的超过1/3的值。
  
  否则令 $v_i=perp, b_i=1$
2. 广播 $m_i^{r,4}=(ESIG_i(b_i),ESIG_i(v_i),sigma_i^{r,4})$
备注： $b_i=0$ 表示区块合法， $b_i=1$ 表示区块不合法

【思考】：在诚实节点中，似乎不会出现部分 $b_i=1$ ，部分 $b_i=0$ 的场景，而是会全部共识到合法区块 $B_r$ 或空区块 $B_epsilon$ 。恶意的 $ell^r$ 和Verifier不能对下一步的诚实节点进行单播，因为他们不知道下一步的诚实节点是谁。

BBA*

在BBA*中，会不断对收到的历史 $m_j^{r,s'-1}$ 进行检查，查看是否触发Ending Condition

以下两个结束条件是互斥的

【Ending Condition 0】
- 条件：收到超过 $2n/3$ 的 $m_j^{r,s'-1}=(ESIG_j(0),ESIG_j(v),sigma_j^{r,s'-1})$ ，且有 $s'-2equiv 0 ext{mod} 3$ ；同时 $v$ 在 $m_j^{r,1}$ 中对应的区块是合法的（注意 $v$ 是区块的哈希）
- 满足条件则达成共识 $B^r=B_j^r$ ，将相应的 $m_j^{r,s'-1}$ 集合作为 $CERT^r$ ，停止该轮。
【Ending Condition 1】
- 条件：收到超过 $2n/3$ 的 $m_j^{r,s'-1}=(ESIG_j(1),ESIG_j(v),sigma_j^{r,s'-1})$ ，且有 $s'-2equiv 1 ext{mod} 3$
- 满足条件则达成共识 $B^r=B_{epsilon}^r$ ，将相应的 $m_j^{r,s'-1}$ 集合作为 $CERT^r$ ，停止该轮。
Step 5：Coin-Fixed-To-0

当 $5leq s leq m+2, s-2equiv 0 ext{mod} 3$ 时进行这一步时，如果触发Ending Condition 0 或 1，则停止。否则等待 $t_s$ 后
- 在收到的 $m_j^{r,s-1}$ 中，有超过2/3比例的 $m_j^{r,s-1}=(ESIG_j(1),ESIG_j(v_j),sigma_j^{r,s-1})$ ，则令 $b_i=1$ ，否则另 $b_i=0$
- 广播 $m_i^{r,s}=(ESIG_i(b_i),ESIG_i(v_i),sigma_i^{r,s})$
- 【为什么要令 $b_i=1$ 和0】
Step 6：Coin-Fixed-To-1

和 Coin-Fixed-To-0 类似，当 $6leq s leq m+2, s-2equiv 1 ext{mod} 3$ 时进行这一步时，如果触发 Ending Condition 0 或 1，则停止。否则等待 $t_s$ 后
- 在收到的 $m_j^{r,s-1}$ 中，有超过2/3的 $m_j^{r,s-1}=(ESIG_j(0),ESIG_j(v_j),sigma_j^{r,s-1})$ ，则令 $b_i=0$ ，否则令 $b_i=1$
- 广播 $m_i^{r,s}=(ESIG_i(b_i),ESIG_i(v_i),sigma_i^{r,s})$
Step 7：Coin-Genuinely-Flipped

当 $7leq s leq m+2, s-2equiv 2 ext{mod} 3$ 时进行这一步，如果触发 Ending Condition 0 或 1，则停止。否则等待 $t_s$ 后
- 可能出现三种互斥的情况：
  
  在收到的 $m_j^{r,s-1}$ 中，有超过2/3的 $m_j^{r,s'-1}=(ESIG_j(1),ESIG_j(v_j),sigma_j^{r,s'-1})$ ，则令 $b_i=1$
  
  在收到的 $m_j^{r,s-1}$ 中，有超过2/3的 $m_j^{r,s'-1}=(ESIG_j(0),ESIG_j(v_j),sigma_j^{r,s'-1})$ ，则令 $b_i=0$
  
  否则令 $b_i= ext{lsb}(min_{jin SV_i^{r,s-1}}H(epsilon_j^{r,s-1})$
- 广播 $m_i^{r,s}=(ESIG_i(b_i),ESIG_i(v_i),sigma_i^{r,s})$
Step m+3：最后一步

这一步比较特殊，不用检查自己是不是Verifier，所有节点都要参与。

如果触发Ending Condition 0 或 1，则停止。否则等待 $t_s$ 后
- 令 $out_i=1$ 和 $B^r=B_epsilon^r$
- 广播 $m_i^{r,m+3}=(ESIG_i(out_i),ESIG_i(H(B^r)), sigma_i^{r,m+3})$
达成共识 $B^r=B_{epsilon}^r$ ，收集 $m_j^{r,m+3}$ 集合作为 $CERT^r$ 。

总结

【达成共识的情况】：有三种，分别是 Ending Condition 0、Ending Condition 1 和 Step m+3。

【Ending Condition】
1. 若因为收到超过 2n/3 的 $m_j^{r,s'-1}$ 而触发 Ending Condition，则在 $s< s'$ 的 step 里，肯定是因为耗尽等待时间 $t_s$ 而结束step。
2. 触发 Ending Condition 0，则 $s'$ 一定是 Coin-Fixed-To-0；如果触发 Ending Condition 1，则 $s'$ 一定是 Coin-Fixed-To-1。
3. Ending Condition 要求收到的 $m_j$ 个数要超过确定值 $2n/3$ ，而其他的都只要求收到的 $m_j$ 中有2/3满足条件即可。
拜占庭共识要保证参与共识的诚实节点大于2/3，但随机选出的集合不能保证该条件。于是
1. 进行多次的随机选取（循环），只要有一次参与共识的诚实节点大于 2/3，就能达成共识。
2. 如果不进行多次随机选取（循环），则恶意节点每次把合法区块变成空区块的概率就会大大增加。
临时密钥

在每一个 $(r,s)$ 里，节点 i 所用的使用临时密钥 $sk_i^{r,s}$ 签名消息。一旦消息广播出去，立即销毁签名所用的私钥。

这么做的理由：节点 i 发送消息 $m_i^{r,s}$ 的瞬间，敌手可以立即知道 $iin SV_i^{r,s}$ ，就可以collud它，用它的 $sk_i^{r,s}$ 重新签名消息并广播。比如敌手可以这么攻击
- $s=1$ 时：则每一轮敌手都可以控制 leader
- $s eq 1$ 时，敌手可以有策略地控制verifier，使得每一轮都共识成空区块 $B_epsilon$
节点 i 每次会生成100万轮*180步的临时密钥（在加入系统或临时密钥用完时生成）。下面简单介绍两种生成方案（论文 p32）

第一种方案
1. i 生成 PMK 和 SMK
2. 广播 PMK
3. 通过 SMK 和 $(r,i,s)$ 计算出100万轮*180步的 $sk_i^{r,s}$ 。计算完后销毁 SMK
4. 任何人可以通过 PMK 和 $(r,i,s)$ 计算出 $pk_i^{r,s}$ （这一步论文里没有写，是我猜的）
第二种方案
- i 生成100万轮*180步的公私钥对
- 利用全部的私钥生成 Merkle Tree，广播 Root。
- i 广播 $m_i^{r,s}$ 时，附带公钥和 Merkle Tree的验证路径
论文原文
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