【转】浮点数在计算机中存储方式

C语言和C#语言中，对于浮点类型的数据采用单精度类型（float）和双精度类型(double)来存储，float数据占用32bit,double数据占用64bit,我们在声明一个变量float f= 2.25f的时候，是如何分配内存的呢？如果胡乱分配，那世界岂不是乱套了么，其实不论是float还是double在存储方式上都是遵从IEEE的规范的，float遵从的是IEEE R32.24 ,而double 遵从的是R64.53。

    无论是单精度还是双精度在存储中都分为三个部分：

1. 符号位(Sign) : 0代表正，1代表为负
2. 指数位（Exponent）:用于存储科学计数法中的指数数据，并且采用移位存储
3. 尾数部分（Mantissa）：尾数部分

 其中float的存储方式如下图所示：

而双精度的存储方式为:

根据IEEE（美国电气和电子工程师学会）754标准中的定义，单精度（Single Precision）浮点数是32位（即4字节）的，双精度（Double Precision）浮点数是64位（即8字节）的。两者的S、E、M所占的位数以及表示方法由下表可知：

	S	E	M	表示公式	偏移量
单精度浮点数	1（第31位）	8（30到23位）	23（22到0位）	(-1)^S*2(E-127)*1.M	127
双精度浮点数	1（第63位）	11（62到52位）	52（51到0位）	(-1)^S*2(E-1023)*1.M	1023

P是阶码，通常使用移码表示（移码和补码只有符号位相反，其余都一样。对于正数而言，原码、反码和补码都一样；对于负数而言，补码就是其绝对值的原码全部取反，然后加1）。阶码可以为正数，也可以为负数，为了处理负指数的情况，实际的指数值按要求需要加上一个偏差（Bias）值作为保存在指数域中的值，单精度数的偏差值为127，双精度数的偏差值为1023。例如，单精度的实际指数值0在指数域中将保存为127，而保存在指数域中的64则表示实际的指数值-63，偏差的引入使得对于单精度数，实际可以表达的指数值的范围就变成-127到128之间（包含两端）。
　　M为尾数，其中单精度数为23位长，双精度数为52位长。IEEE标准要求浮点数必须是规范的。这意味着尾数的小数点左侧必须为1，因此在保存尾数的时候，可以省略小数点前面这个1，从而腾出一个二进制位来保存更多的尾数。这样实际上用23位长的尾数域表达了24位的尾数。例如对于单精度数而言，二进制的1001.101（对应于十进制的9.625）可以表达为1.001101 × 23，所以实际保存在尾数域中的值为00110100000000000000000，即去掉小数点左侧的1，并用0在右侧补齐。
　　根据标准要求，无法精确保存的值必须向最接近的可保存的值进行舍入，即不足一半则舍，一半以上（包括一半）则进。不过对于二进制浮点数而言，还多一条规矩，就是当需要舍入的值刚好是一半时，不是简单地进，而是在前后两个等距接近的可保存的值中，取其中最后一位有效数字为零者。
　　据以上分析，IEEE 754标准中定义浮点数的表示范围为：

	二进制（Binary）	十进制（Decimal）
单精度浮点数	± (2-2^-23) × 2127	~ ± 10^38.53
双精度浮点数	± (2-2^-52) × 21023	~ ± 10^308.25

　　浮点数的表示有一定的范围，超出范围时会产生溢出（Flow），一般称大于绝对值最大的数据为上溢（Overflow），小于绝对值最小的数据为下溢（Underflow）。

单精度浮点数和双精度浮点数都是用IEEE 754标准定义的，其中有一些特殊约定，例如：
　　1、当P=0，M=0时，表示0。
　　2、当P=255，M=0时，表示无穷大，用符号位来确定是正无穷大还是负无穷大。
　　3、当P=255，M≠0时，表示NaN（Not a Number，不是一个数）。

    R32.24和R64.53的存储方式都是用科学计数法来存储数据的，比如8.25用十进制的科学计数法表示就为:8.25*,而120.5可以表示为:1.205*,这些小学的知识就不用多说了吧。而我们傻蛋计算机根本不认识十进制的数据，他只认识0，1，所以在计算机存储中，首先要将上面的数更改为二进制的科学计数法表示，8.25用二进制表示可表示为1000.01,我靠，不会连这都不会转换吧?那我估计要没辙了。120.5用二进制表示为：1110110.1用二进制的科学计数法表示1000.01可以表示为1.0001*,1110110.1可以表示为1.1101101*,任何一个数都的科学计数法表示都为1.xxx*,尾数部分就可以表示为xxxx,第一位都是1嘛，干嘛还要表示呀？可以将小数点前面的1省略，所以23bit的尾数部分，可以表示的精度却变成了24bit，道理就是在这里，那24bit能精确到小数点后几位呢，我们知道9的二进制表示为1001，所以4bit能精确十进制中的1位小数点，24bit就能使float能精确到小数点后6位，而对于指数部分，因为指数可正可负，8位的指数位能表示的指数范围就应该为:-127-128了，所以指数部分的存储采用移位存储，存储的数据为元数据+127，下面就看看8.25和120.5在内存中真正的存储方式。

     首先看下8.25，用二进制的科学计数法表示为:1.0001*

按照上面的存储方式，符号位为:0，表示为正，指数位为:3+127=130 ,位数部分为,故8.25的存储方式如下图所示:

而单精度浮点数120.5的存储方式如下图所示:

那么如果给出内存中一段数据，并且告诉你是单精度存储的话，你如何知道该数据的十进制数值呢？其实就是对上面的反推过程，比如给出如下内存数据：0100001011101101000000000000，首先我们现将该数据分段，0 10000 0101 110 1101 0000 0000 0000 0000，在内存中的存储就为下图所示：

根据我们的计算方式，可以计算出，这样一组数据表示为:1.1101101*=120.5

而双精度浮点数的存储和单精度的存储大同小异，不同的是指数部分和尾数部分的位数。所以这里不再详细的介绍双精度的存储方式了，只将120.5的最后存储方式图给出，大家可以仔细想想为何是这样子的

下面我就这个基础知识点来解决一个我们的一个疑惑，请看下面一段程序，注意观察输出结果

            float f = 2.2f;
            double d = (double)f;
            Console.WriteLine(d.ToString("0.0000000000000"));
            f = 2.25f;
            d = (double)f;
            Console.WriteLine(d.ToString("0.0000000000000"));

可能输出的结果让大家疑惑不解，单精度的2.2转换为双精度后，精确到小数点后13位后变为了2.2000000476837，而单精度的2.25转换为双精度后，变为了2.2500000000000，为何2.2在转换后的数值更改了而2.25却没有更改呢？很奇怪吧？其实通过上面关于两种存储结果的介绍，我们已经大概能找到答案。首先我们看看2.25的单精度存储方式，很简单 0 1000 0001 001 0000 0000 0000 0000 0000,而2.25的双精度表示为:0 100 0000 0001 0010 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000,这样2.25在进行强制转换的时候，数值是不会变的，而我们再看看2.2呢，2.2用科学计数法表示应该为：将十进制的小数转换为二进制的小数的方法为将小数*2，取整数部分，所以0.282=0.4，所以二进制小数第一位为0.4的整数部分0，0.4×2=0.8，第二位为0,0.8*2=1.6,第三位为1，0.6×2 = 1.2，第四位为1，0.2*2=0.4，第五位为0，这样永远也不可能乘到=1.0，得到的二进制是一个无限循环的排列 00110011001100110011... ,对于单精度数据来说，尾数只能表示24bit的精度，所以2.2的float存储为:

但是这样存储方式，换算成十进制的值，却不会是2.2的，应为十进制在转换为二进制的时候可能会不准确，如2.2，而double类型的数据也存在同样的问题，所以在浮点数表示中会产生些许的误差，在单精度转换为双精度的时候，也会存在误差的问题，对于能够用二进制表示的十进制数据，如2.25，这个误差就会不存在，所以会出现上面比较奇怪的输出结果。

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