洛谷P1967 货车运输 题解

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NOIP2013货车运输 ，这道题很有价值。

很多题解都没有说清楚为什么要跑最大生成树，我这里会证明。

数据范围：n<=1e4,m<=5e4........

O（nlogn）的算法可以过，而且与公共祖先有关，所以用LCA。

算法思路：

为什么先跑一遍最大生成树？两点之间的道路的最小载重量一定是在树边上？

可以用反证法：

                     1 

                   /     

                 2        3

                /

             4

这是一个最大生成树，假设3--->4之间还有一条边权比4-->2-->1-->3中最小边权更大的边，我们以Kruskal算法为例：

3--->4为非树边，且在Kruskal算法的过程中，若3---->4这条边没有被选，有两种情况

1. 3--->4的边权比4--->2--->1--->3要小，这与我们假设的条件不符合，舍去此情况。

2.  3--->4这条边正准备被选的时候，发现3和4正好已经在一个集合中，才会是非树边，及1.2.3.4已经联通，那么肯定选了4-->2-->1-->3这些边，那么3-->4的边权一定比4-->2-->1-->3这些边的边权要小，与假设不符。

证毕。

代码：

void Kruskal(){
    int tim=0;
    while(!q.empty()){
        if(tim>=n-1)return;
        int r1=find(q.top().u),r2=find(q.top().v);
        if(r1!=r2){
            tim++;
            col[q.top().u]=1;
            col[q.top().v]=1;
            fin[r1]=r2;
            add(q.top().u,q.top().v,q.top().w);
            add(q.top().v,q.top().u,q.top().w);
        }
        q.pop();
    }
}

DFS在预处理 Min的时候，Min[u][i]表示 第u个点到其第2^i个祖先之间的边权最小值.

代码：

void dfs(int pos,int fa){
    dep[pos]=dep[fa]+1;
    f[pos][0]=fa;
    for(int i=1;(1<<i)<=dep[pos];i++){
    f[pos][i]=f[f[pos][i-1]][i-1];
    Min[pos][i]=min(Min[pos][i-1],Min[f[pos][i-1]][i-1]);
    }
    for(int i=head[pos];i;i=E[i].nxt)
    if(E[i].to!=fa){
    Min[E[i].to][0]=E[i].dis;
    dfs(E[i].to,pos);
    }
}

 在这段代码中我犯的错误：

 将Min[f[pos][i-1]][i-1]写成了Min[Min[pos][i-1]][i-1],第一维记录的是父亲的编号，怎么能是Min呢！

 LCA代码：

int lca(int a,int b){
    int minn=0x3f3f3f3f;
    if(dep[a]>dep[b])
    swap(a,b);
    for(int i=20;i>=0;i--)
    if((dep[a]+(1<<i))<=dep[b]){
    minn=min(minn,Min[b][i]);//跳到同一高度的时候需要更新。
    b=f[b][i];
    }
    if(a==b)return minn;
    for(int i=20;i>=0;i--){
        if(f[a][i]==f[b][i])
        continue;
        else
        {
        minn=min(minn,min(Min[a][i],Min[b][i]));//不能用LCA的父亲去更新Min
        a=f[a][i];
        b=f[b][i];
        }
    }
    return min(minn,min(Min[b][0],Min[a][0]));而且我们刚刚跳的时候，是调到lca的儿子，
   它有两个儿子，所以需要用两条边来更新Min。

}

不预处理，暴力找Min也可以过洛谷的数据。

思路：每次找父亲，更新minn，调到lca就停。

 贴下代码：

int getans(int a,int b){
    int LCA=lca(a,b);
    int minn=0x3f3f3f3f;
    for(int i=a;i<=n;i=f[i][0]){
    if(i==LCA)break;
    minn=min(minn,Min[i][0]);
    }
    for(int i=b;i<=n;i=f[i][0]){
    if(i==LCA)break;
    minn=min(minn,Min[i][0]);
    }
    return minn;
}

数据比较水，两种找Minn的方法用时只差100+ms.