第一类斯特林数
定义
$S_1(n,m)$表示$n$个元素，形成$m$个环的方案数，记作$egin{bmatrix}n\mend{bmatrix}$。
其中每个元素是不同的，每个环是相同的。
递推公式
从实际含义上去考虑，第一类斯特林数递推公式为：
$egin{bmatrix}n\mend{bmatrix}=egin{bmatrix}n-1\m-1end{bmatrix}+(n-1)*egin{bmatrix}n-1\mend{bmatrix}$
分别对应形成新的环，方案数即$egin{bmatrix}n-1\m-1end{bmatrix}$。
接在原来的一个环中一个元素的后面，方案数即$(n-1)*egin{bmatrix}n-1\mend{bmatrix}$
一些简单性质
1.第一类斯特林数第$n$行的和为$n!$，即
$sum limits_{i=0}^negin{bmatrix}n\iend{bmatrix}=n!$
考虑$n!$，表示$n$个元素的排列。建立$i ightarrow p_i$的置换，显然会形成若干个环。
这与第一类斯特林数在第$n$行的的一种方案是一一对应的。
2.第一类斯特林数的一个用途是用通常幂表示上升幂，有
$x^{overline n}=sum limits_{i=0}^n egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}x^i$
证明可以通过数学归纳法。
当$n=0$，原式$x^{overline 0}=1=x^0$显然成立。
$x^{overline n}=sum limits_{i=0}^n egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}x^i$
设原式在$n$时成立，只要证原式在$n+1$时也成立。
左右同乘$x+n$可得，$x^{overline n+1}=x^{overline n}*(x+n)$
$=sum limits_{i=0}^n egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}x^i*(x+n)$
$=sum limits_{i=0}^{n+1} egin{bmatrix}n+1\iend{bmatrix}x^i$
3.对于通常幂，显然有$x^n=(-x)^n*(-1)^n$
对于下降幂和上升幂，同样有
$x^{overline n}=(-x)^{underline n}*(-1)^n$
$x^{underline n}=(-x)^{overline n}*(-1)^n$
将该式代入$x^{overline n}=sum limits_{i=0}^n egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}x^i$
整理可得用通常幂表示下降幂的式子
$x^{underline n}=sum limits_{i=0}^n egin{bmatrix}n\iend{bmatrix}(-1)^{n-i}x^i$
求法
对于同一行第一类斯特林数的求解，可以直接利用第二个性质。
对$x^{overline n}$做分治$fft$即可。
这个做法的复杂度是$O(nlog^2n)$的，可以用一些做法优化到一个log，待补。
第二类斯特林数
定义
$S_2(n,m)$表示$n$个元素，形成$m$个集合的方案数，记作$egin{Bmatrix}n\mend{Bmatrix}$。
其中每个元素是不同的，每个集合是相同的。
递推公式
从实际含义上去考虑，第二类斯特林数递推公式为：
$egin{Bmatrix}n\mend{Bmatrix}=egin{Bmatrix}n-1\m-1end{Bmatrix}+m*egin{Bmatrix}n-1\mend{Bmatrix}$
分别对应形成新的集合，方案数即$egin{Bmatrix}n-1\m-1end{Bmatrix}$。
加入任意一个已有的集合，方案数即$m*egin{Bmatrix}n-1\mend{Bmatrix}$
一些简单性质
1.第二类斯特林数的一个用途是用下降幂表示通常幂，有
$x^n=sum limits_{i=0}^n egin{Bmatrix}n\iend{Bmatrix}x^{underline i}$
证明(1) 通过数学归纳法，与第一类斯特林数的证明类似，这里略过。
证明(2) 考虑$x^n$的实际含义，将$n$个不同元素放入$x$个不同集合中。
有$x^n=sum_{i=0}^negin{Bmatrix}n\iend{Bmatrix}inom{x}{i} i!$
因为第二类斯特林数中的集合是无差别的，所以最后应当乘上$i!$。
整理上式可得要证的式子，实际上这个含有组合数的公式也是有时候要化成的形式。
2.同样代入负数形式，可得用上升幂表示通常幂的形式，即
$x^n=sum limits_{i=0}^n egin{Bmatrix}n\iend{Bmatrix}(-1)^{n-i}x^{overline i}$。
求法
单点求解第二类斯特林数存在一种$O(n)$的容斥方法。
设共有n个不同元素，为了方便，设共有m个不同集合。
设$g_x$表示恰好$x$个集合为空的方案数。
设$f_x$表示钦定$x$个集合为空的方案数，有
$f_x=inom{m}{x}(m-x)^n$
$f_x=sum limits_{i=x}^{m}inom{i}{x}g_i$
由二项式反演得
$g_x=sum limits_{i=x}^{m}(-1)^{i-x}inom{i}{x}f_i$。
代入$x=0$，可得
$egin{Bmatrix}n\mend{Bmatrix}=frac{1}{m!}*sum limits_{i=0}^{m}(-1)^iinom{m}{i}(m-i)^n$
拆一拆就发现这个玩意是个卷积式，所以求同一行第二类斯特林数可以做到$O(nlogn)$。