首先。我们谈一下素数的定义。什么是素数？除了1和它本身外，不能被其它自然数整除（除0以外）的数
称之为素数（质数）；否则称为合数。
依据素数的定义，在解决问题上，一開始我想到的方法是从3到N之间每一个奇数进行遍历，然后再依照素数的定义去逐个除以3到
根号N之间的奇数，就能够计算素数的个数了。
于是便编写了以下的代码：
（代码是用C++编写的）
#include<iostream>
#include <time.h>
using namespace std;
const int N = 1000000;
int compuPrimeN(int);
int main(char argc, char* argv[])
{
int iTimeS = clock();
int iNum = compuPrimeN(N);
int iTimeE = clock();
cout << iNum << endl;
cout << "算法时间:" <<iTimeE - iTimeS<<"毫秒"<< endl;
getchar();
return 0;
}
int compuPrimeN(int maxNum)
{
//算法1
int iNum = 1; //起始记上2
bool bPrime = true;
for (int i = 3; i <= maxNum; i += 2)
{
bPrime = true;
for (int j = 3; j <= (int)sqrt(i); j += 2)
{
if (i%j == 0)
{
bPrime = false;
break;
}
}
if (bPrime)
iNum++;
}
return iNum;
}执行后如图所看到的：
由此可见。算法的性能不是非常好，在时间上还有非常大能够优化的空间。
那么，该怎样优化？
首先，我是想，既然去掉了2的倍数，那么能不能去掉3的倍数。但后来
发现，在第二个循环里第一个取余的就是3，那么3的倍数事实上仅仅计算了一次
就过滤，全部没有必要再往下思考。
后来我想到。在第二个循环里。3取余过了，假设没跳出循环，那么6。9之类的
应该不用继续取余，同理。5取余过了。那么10，15...就不该继续取余，由于取余
5不为0，那么取余10，15肯定也不为0.换言之。那么不该取余的事实上是合数！
！
why？由于假设是合数，那么比他根号本身小的数里肯定有它能取余的，也就是
之前我们想过滤掉不想取余的数，这样一来，事实上我们仅仅要在第二循环里取余
比其根号本身要小的质数就能推断出来了！而那些质数我们在求该数之前就已经
找出来了，那么我们仅仅要将其记录下来即可了！！
于是乎，遵循乎该思路，我将compuPrimeN()函数重写，写出了第2个算法：
int compuPrimeN(int maxNum)
{
//算法2
int iNum = 1; //记录素数总个数
int iRecN = 1; //记录在数组内素数的个数
bool bPrimeN = true;
int sqrtMaxN = (int)sqrt(maxNum);
//我们要记录小于sqrtMaxN内的素数，为使空间分配最优，大小为x/ln(x)*1.2,
//由于科学家发现一个求素数大致范围的近似公式x/ln(x),
//为了不数组越界,多加20%范围
//注意maxNum为3时为特例。由于此处ln(根号3)为0
int* iPrime = new int[maxNum == 3 ? 1 : (int)((float)sqrtMaxN / log(sqrtMaxN)*1.2)];
for (int i = 3; i <= maxNum; i += 2)
{
bPrimeN = true;
//仅仅要取余范围内的素数就好了
for (int j = 1; j < iRecN; j++)
{
if (i%iPrime[j] == 0)
{
bPrimeN = false;
break;
}
}
if (bPrimeN)
{
if (i <= sqrtMaxN)
{
iPrime[iRecN] = i;
iRecN++;
iNum = iRecN;
}
else
iNum++;
}
}
delete []iPrime;
return iNum;
}执行后如图所看到的：
看，优化后算法的时间性能比原来好了19倍左右。
那能不能更快呢？
我想理论上是能够的，由于前面的算法都用到了一种思想，
事先过滤掉了2，3的倍数。假设我们能把5，7，11的倍数都
事先过滤掉那不是更快吗？
这里为什么没有9，由于9的倍数即是3的倍数啊，咦？好像
发现了什么。和算法2的思想有点类似，假设我们能事先过滤掉
质数倍数，那么不是能过滤掉非常多合数了吗。而对于该质数+1。
无非是两种情况。其一是它是被过滤掉的合数，其二是它是质数。
否则它应该在之前过滤掉的啊！！而我们仅仅要在过滤的过程中，
把遇到的不能过滤的统计起来。不就是我们所求的质数吗？
这样一来，时间性能不是能更进一步优化了吗？对，可是要事先
过滤掉这么多的合数。并将其行为记录下来，就要消耗极大的
空间了，这就是典型的空间换时间！
！
于是，我写的算法3便诞生了，例如以下：
int compuPrimeN(int maxNum)
{
//算法3
//用bool型大数组来记录,true为素数，false为偶数
//由于求素数个数，所曾经两个能够忽略.
bool* bArray = new bool[maxNum + 1];
for (int i = 2; i <= maxNum; i++)
bArray[i] = true;
int iNum = 0;
for (int i = 2; i <= maxNum; i++)
{
//替换后面的合数为false
if (bArray[i])
{
iNum++;
for (int j = i + i; j <= maxNum; j += i)
{
bArray[j] = false;
}
}
}
delete []bArray;
return iNum;
}执行后如图：
哇！
没想到算法的时间居然可以优化如此高速。！可是，好像耗费的空间
存储有点多，仅用bool型的数组记录似乎有点浪费,能不能在每一个bit上用0或1
来取代记录呢？
于是。我又写了以下的算法：
int compuPrimeN(int maxNum)
{
//算法4
//用每一个位0或1来分别表示合数和素数
//优点是内存空间利用最大化
int size = maxNum % 8 == 0 ? maxNum / 8 : maxNum / 8 + 1;
unsigned char* array = new unsigned char[size];
for (int i = 0; i < size; i++)
array[i] = 127;
int iNum = 0, iBit = 0, index = 0;
for (int i = 2; i <= maxNum; i++)
{
index = i / 8;
(iBit = i % 8) == 0 ? iBit = 7, index-- : iBit--;
if (array[index] & (1 << iBit))
{
iNum++;
for (int j = i + i; j <= maxNum; j += i)
{
index = j / 8;
(iBit = j % 8) == 0 ?
iBit = 7, index-- : iBit--;
array[index] = array[index] & (~(1 << iBit));
}
}
}
delete []array;
return iNum;
}
执行结果如图：
尽管因为二进制的计算使其在时间性能上比算法3要慢上那么一点，
可是换做bit来记录素数或合数，却是让空间存储变为了原来的1/8,
其优点是不言而喻的。假设没有内存空间问题。那么用算法3也是
无可厚非的。假设对内存空间要求比較严格，那么算法2才是最佳
首选。
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可是除了上面四种算法之外，我想到了一种近乎作弊的第5种方法。这样的方法用在比赛的
题目中，可能会引起非议。但在实际应用之中，却是一种非常值得借鉴的方法，这之中蕴含
着一种非常重要的思想。我称之为“用已知换未知”。！
其思想为：将求出的已知数据按一定格式保存起来，在以后须要的时候，仅仅要读取一次
该数据。就能求得该结果。其算法时间为O(1).
比如该问题，如果我们在实际应用的过程中仅须要用到N <= 1亿的N以内的素数个数
（N需求很多其它时可在计算机存储范围内对应添加，只是对应的预处理时间也会添加）。
那么我们能够先调用例如以下这个函数将N(N <= 1亿)以内素数个数的数据用二进制存储起来。
void savPrimeN(int maxNum)
{
ofstream ofPrimeF("PrimeNum.data", ios::binary);
int iNum = 0;
//预先写入两次0，分别作为0,1以内素数的个数
for (int i = 0; i < 2;i++)
ofPrimeF.write((const char*)(&iNum), sizeof(int));
//用bool型大数组来记录,true为素数，false为偶数
//由于求素数个数，所曾经两个能够忽略.
bool* bArray = new bool[maxNum + 1];
for (int i = 2; i <= maxNum; i++)
bArray[i] = true;
int sizeInt = sizeof(int);
for (int i = 2; i <= maxNum; i++)
{
//替换后面的合数为false
if (bArray[i])
{
iNum++;
for (int j = i + i; j <= maxNum; j += i)
{
bArray[j] = false;
}
}
ofPrimeF.write((char*)(&iNum), sizeInt);
}
delete []bArray;
ofPrimeF.close();
}
如今我们已经将N(N <= 1亿)以内素数的个数依照每4个字节的格式存储到二进制文件其中了，那么当我们须要
求N(N<=1亿)以内素数的个数的时候，我们仅仅要到该二进制文件里读取对应的数据就能够了。
例如以下所看到的：
int compuPrimeN(int maxNum)
{
//算法5
ifstream ifPrimeN("PrimeNum.data", ios::binary);
int iNum = 0;
ifPrimeN.seekg(maxNum*4, ios::beg);
ifPrimeN.read((char*)(&iNum), sizeof(iNum));
ifPrimeN.close();
return iNum;
}看看如今的运算时间：
由于clock()函数计算程序启动到函数调用占用CPU的时间是精确到毫秒的，
这也就意味着我们算法的时间不超过1毫秒！！
而这一切，都是得益于我们
自己所建立的一个所谓的“数据库”，有了这个“数据库”，仅仅要保证N<=1亿，
我们在运算时间的性能上都是毫无压力的。。！
总结：
在思考和编码中。我深深的体会到了，算法优化的重要性。而要想成为
一个优秀的程序猿，那么就必须明确。算法是程序的灵魂。！