本文根据Andrew Ng的Machine Learning的课写就。
=======================================一、预测电影评分==========================================
全文以“预测电影评分”例子展开
r(i,j)=0则表明user_j没有对movie_i 没有评分，
推荐系统要做的就是通过预测user_j对这些movie {i|r(i,j)=0}的评分来给user_j 推荐其可能会喜欢的电影<预测评分较高的movie>
=======================================二、基于内容的推荐=======================================
对每个movie_i引入特征x(i)=(x1, x2)，这种特征可能表明user对movie类型的偏好：浪漫or动作等
对于每个user引入一个参数theta，然后对评分矩阵的每列(对应一个user)做线性回归，数据是{ (x(i), y(i,j)) |r(i,j)=1，for some j all i}
像机器学习一样，x(i)添加个1变量x(i)=(1, x1, x2)
那么对于未评分的movie_t，我们可以使用线性回归训练的参数theta与对应特征x(t)做内积来得到其预测评分
对每个用户都训练一个参数theta_j，优化模型如下：
优化算法：注意正则项是不约束x(i)=(1, x1, x2)中1对应的参数theta的第一项theta0，所以k=0与k=1,2分别对待
=======================================三、协同过滤=======================================
现在换个角度：如果知道theta for all user j，如何来预测x(i) = (x1, x2) all i
仍然可以使用线性回归，为训练每个x(i)，需要评分矩阵的第i行数据{ (x(i), y(i,j)) |r(i,j)=1，for some i all j}
theta_j = (0, theta1, theta2) ；theta1=5说明user_j喜欢romance类movie， theta2=5说明user_j喜欢action类movie，只能有一个等于5哦，
我觉得也可以是：theta_j = (0, 4, 1) ；喜欢romance 4 action 1.
对应的优化：
协同过滤：交替优化theta与x
=========================================四、协同过滤算法=======================================
优化：
优化：注意去掉了theta和x的添加项
=========================================五、实现细节补充=======================================
实现细节：
如果有user没有对任何电影评分或者所有评分的电影都是0分，那么所学习到的参数是零向量，
则预测都是0值，这是不合理的。通过 将评分矩阵减去其行均值再进行线性回归来“避免”这种情况
=========================================六、一点思考==========================================
- 协同过滤那块，同时优化theta、x，这样得到的theta、x还有特定的意义<比如：x是否还表征对影视类型的喜爱与否>没有？
- 回归中，在x数据上不添加1-feature是不是因为后来引入的平均值化；如果不是，那会对结果有什么影响？
- 用x-feature来表征一个movie，x-feature的各分量的可解释性；应该会有一部分user应为演员的缘故有一些"偏爱"。
- 这里，讲的"基于内容的推荐"与"协同过滤"跟以前对这两个词的认识/所指内容不同，查清楚、搞明白。