(译)你必须知道的位运算技巧 Low Level Bit Hacks You Absolutely Must Know

from HackerMonthly-issue15
By Peteris Krumins

我准备写一篇关于嵌入系统开发者所熟知的有关位运算技巧的文章. 位运算技巧可以巧妙有效的操作整数.在如计算一个整数中包含多少个1之类的操作时,这些技巧可以只用几个位操作符搞定.

假定你已具备2的补码和位运算操作的知识.

下面的文章将使用以下简写:

& -  and
| -  or
^ -  xor
~ -  not
<< -  左移
>> -  右移

本文里的整数指 8bit (虽然也适用于任意长度的有符号整数) 的有符号整数,我们用 x 表示,结果用 y 表示, x 的每个bit 有 b7,b6,b5,b4,b3,b2,b1 和 b0,符号位 b7 为最高位,b0为最低位.

我将从最常用的技巧开始,然后渐渐趋于更难的技巧.并使用示例代码解释每个技巧的工作原理.

位运算技巧1: 判断一个整数奇偶

if ((x & 1) == 0) {
  x is even
}
else {
  x is odd
}

我相信所有人都见过这个,它的原理是判断最后一个bit b0如果是1的话就是奇数. 用1 and x 将消除除b0以外的位,那么如果结果为0 x即为偶数,否则x 为奇数.

来看些例子,比如43,是一个奇数,用二制表示即 00101011. 它的最后一位b0 是1,将它和1 作AND 操作:

00101011
& 00000001
--------
00000001

可以看到 AND 抹掉了b1-b7,但b0依然保持原样,运算的最终结果是1,告诉我们它是他奇数.

那么我们再看看-43,提醒一下,在2的补码表示方法,对一个正整数取负的步骤是反转每一位然后加1,所以-43的二进制表示为11010101.再次强调一下最后一个bit是1,所以是奇数.(如果我们用1的补码就不正确了)

再看一个偶数98,其二进制表示是 1100010

01100010
& 00000001
--------
00000000

AND的结果是0,意味着98的b0是0,指定的整数为偶数.

-98二进制表示为 10011110. 同样b0 为0,AND后结果为0

位运算技巧2: 判断第n位是否置1.

if (x & (1<<n)) {
  n-th bit is set
}
else {
  n-th bit is not set
}

在前面的技巧中,我们看到(x&1)测试第一个位是否置1.这个技巧更进一步可以判断第n位是否置1.方法是向左移n位再求AND,这会抹掉除第n位的其他位.

下面演示了左移的效果.

1 00000001 (等同于 1<<0)
1<<1 00000010
1<<2 00000100
1<<3 00001000
1<<4 00010000
1<<5 00100000
1<<6 01000000
1<<7 10000000

好,我们将左移n位后再和x AND,就快速抹掉x除了第n位的其他位.如果AND后结果为0,那么那个位一定是0,否则就是置1的

看几个例子.

122的第三位是否有值,下面这个操作会找到答案:

122 & (1<<3)

122的二进制表示01111010,1<<3 为 00001000.

01111010
& 00001000
--------
00001000

可以看到最终结果不是0,所以122的第三位是置1

那么-33的第5位是否置1呢?

11011111 (-33 in binary)
& 00100000 (1<<5)
--------
00000000

结果是0,所以第5位是未置1的.

技巧3 将第n位置1

y = x | (1<<n)

这个技巧结合了1<<n 和 OR 操作,1左移后的再和另个数OR 运算会将那个数第n位置1.因为0和任何位OR的结果都是保持不变,但是1和任何位OR结果都是1.

假设一个数 120,我们想将它的第2位置1.

01111000 (120 in binary)
| 00000100 (1<<2)
--------
01111100

再试试将-120第6位置1

10001000 (-120 in binary)
| 01000000 (1<<6)
--------
11001000

技巧4 : 将第n位置0

y = x & ~(1<<n)

这个玩法最核心的部分是~(1<<n),它将除第n位外的位置1

~1 11111110 (same as ~(1<<0))
~(1<<1) 11111101
~(1<<2) 11111011
~(1<<3) 11110111
~(1<<4) 11101111
~(1<<5) 11011111
~(1<<6) 10111111
~(1<<7) 01111111

不管第n位是0还是1,x和这些数AND 的效果都是将第n位置0.

看下面的例子,将127的第4位置0

01111111 (127 in binary)
& 11101111 (~(1<<4))
--------
01101111

技巧5: 反转第n位

y = x ^ (1<<n)

这个玩法同样使用将第n位置1的技巧,但是用的是XOR操作,一个位和另一个位进行XOR,如果它们相同那么结果是0,否则为1.那么怎么切换第n位了? 如果第n位是1,和1 XOR后,1变成0,反之0和1 XOR 结果为1.所以位反转了.

下面这个例子演示了怎么将01110101 第5位反转:

01110101
^ 00100000
--------
01010101

如果第5位已经是0了呢?

01010101
^ 00100000
--------
01110101

看出端倪了没?XOR两次又还原了. 巧妙的XOR常被用来计算RAID阵列的奇偶校验和简单的加密函数中和其他方面

技巧6: 将最右边的1置0

y = x & (x-1)

终于来点有趣的了! 说实在的,前5个玩法有点无聊.

这个玩法将最后一个1置0,例如 00101010,变为00101000. 或者00010000,变为0.

例:

01010111 (x)
& 01010110 (x-1)
--------
01010110

01011000 (x)
& 01010111 (x-1)
--------
01010000

10000000 (x = -128)
& 01111111 (x-1 = 127 (溢出))
--------
00000000

11111111 (x = 都是1 1)
& 11111110 (x-1)
--------
11111110

00000000 (x 没有是1的位)
& 11111111 (x-1)
--------
00000000

那它的原理是呢?

如果你稍加思索,你就会发现有下面两种情况:

1. 位列中有1. 减1会将低位变为1并将最后一个1的位变0.这步再和原来的值AND屏蔽了从最后一个1的后面部分.

2.位列中没有1都是0.这是减去1将溢出所有位都变成1. 和都是0的位列AND 还是0.

技巧7 拨离最右边的1

y = x & (-x)

这个玩法找到最右边的一个1并将其他位置0,例如01010100,转换后为00000100.

例:

10111100 (x)
& 01000100 (-x)
--------
00000100

01110000 (x)
& 10010000 (-x)
--------
00010000

00000001 (x)
& 11111111 (-x)
--------
00000001

10000000 (x = -128)
& 10000000 (-x = -128)
--------
10000000

11111111 (x = all bits one)
& 00000001 (-x)
--------
00000001

00000000
& 00000000 (-x)
--------
00000000

这个技巧归功于2的补码,在2的补码中-x和~x+1.

技巧8: 将右边第一个1后的位全置1

y = x | (x-1)

这个最好结合例子来理解. 将01010000 变成 01011111.从右边第一个1开始,后面的0全变成了1.

这不是一个完美的技巧,当x=0时,结果都是1

例:

10111100 (x)
| 10111011 (x-1)
--------
10111111

01110111 (x)
| 01110110 (x-1)
--------
01110111

00000001 (x)
| 00000000 (x-1)
--------
00000001

10000000 (x = -128)
| 01111111 (x-1 = 127)
--------
11111111

11111111 (x = -1)
| 11111110 (x-1 = -2)
--------
11111111

00000000 (x)
| 11111111 (x-1)
--------
11111111

技巧9: 拨离最右边的第一个0

这个技巧和第7个的相反.找到最右的0,将它置1并将其他位置0. 例如 将10101011,转换成00000100.

更多的例子:

--------
10001000 (~x)
& 01111000 (x+1)
--------
00001000
00000001 (x)
--------
11111110 (~x)
& 00000010 (x+1)
--------
00000010
10000000 (x = -128)
--------
01111111 (~x)
& 10000001 (x+1)
--------
00000001
11111111 (x = no rightmost 0-bit)
--------
00000000 (~x)
& 00000000 (x+1)
--------
00000000

00000000 (x)
--------
11111111 (~x)
& 00000001 (x+1)
--------
00000001

技巧10: 将最右边0位置1

y = x | (x+1)

将最右边的0置1.如将10100011 转换为 10100111.

更多的例子:

10111100     (x)
| 10111101   (x+1)
--------
10111101

01110111     (x)
| 01111000   (x+1)
--------
01111111

00000001     (x)
| 00000010   (x+1)
--------
00000011

10000000      (x = -128)
| 10000001    (x+1)

--------
10000001

11111111 (x = no rightmost 0-bit)
| 00000000 (x+1)
--------
11111111

00000000 (x)
| 00000001 (x+1)
--------
00000001

其他内容:

如果你对其他位操作技巧感兴趣,下面有一些Python,C的代码方便打印8位的符号整数

Python 代码:

def int_to_bin(num, bits=8):

  r = ''

  while bits:

    r = ('1' if num&1 else '0') + r

    bits = bits - 1

    num = num >> 1

print r

C代码:

void int_to_bin(int num) {

  char str[9] = {0};

  int i;

  for (i=7; i>=0; i--) {

    str[i] = (num&1)?'1':'0';

    num >>= 1;

  }

  printf("%s\n", str);

}