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1. Count-Min Sketch
Count-Min Sketch 是数据库中用到的一种 Sketch，所谓 sketch 就是用很少的一点数据来描述全体数据的特性，牺牲了准确性但是代价变得很低。
CM-Sketch 的数据模型是这样的：
有一个维度为n 、不断变化的向量（t 表示时间戳）
每个时间 t上会发生一个更新操作，将其中某一个值加上 c，其他值不变
尽管论文还讨论了一些更 general 的情形，我们这里可以简单地理解为，CM-Sketch 要拟合的的数据模型类似一个哈希表加上计数器：假设有一个数据集合里有 n 个 distinct values，ai 表示编号为 i 的值出现的次数，每次更新都在修改这个计数器。
CM-Sketch 作为一个 sketch，目的是用相对小的代价，实现以下几种查询（近似结果）：
查询编号为 i 的元素出现的次数（主要功能）
查询编号在
范围内的元素出现的总次数
查询 inner product：
-Quantiles
- Heavy Hitters
2. 实现
CM-Sketch 的内部数据结构是一个二维数组 count，宽度 w，深度 d，此外还需要 d 个两两独立的哈希函数 h1...hd。
更新的时候，用这些哈希函数算出 d 个不同的哈希值，然后把对应的行的值加上 c。
这里的取值是有讲究的：
，
，两个参数的含义是：在
的概率下，总误差（所有元素查询误差的之和）小于
。
3. 结果近似性
这里以 Q(i) 为例，它的近似结果是：
也就是所有哈希到的 count 取最小值。显然真实值一定比这个值更小或者相同，那我们只要证明这个值不会比真实值大太多。
要证的结论：
证明如下：
1) 定义指示变量 表示哈希函数
对于元素
和
是冲突的：他们俩被哈希到同一个 slot 上。站在元素
的角度上看，由于
哈希碰撞，导致元素
的计数加到自己的计数上了。
2) 定义随机变量 ，表示所有元素的
的加和。它表示：哈希函数
未知的情况下，所有元素的总误差。
3) 运用马尔可夫不等式，把期望的 bound 转换成概率的 bound
这也解释了我们之前看到的 d 和 w 的取值是哪来的。