线性筛2 筛约数个数

线性筛2

1.筛约数个数

根据唯一分解定理

(n = p_1^{k_1}p_2^{k_2}...p_q^{k_q})

任意质因子的任意次幂都可以随意组合， 所以根据乘法原理

(n)的约数个数为 ((1+k_1)*(1+k_2)*(1+k_3)*...(1+k_q))

so, 可以根据这个线性筛约数个数

首先设 (num(i)) 为(i) 的 (k_1) (也就是最小质因数的指数) (d(i)) 为 (i) 的约数个数

然后根据线性筛那套理论 分三种情况

1. ​ (large i是质数)

很显然 $num(i) =2 $ (d(i) = 2)

1. (i mod prime[j]=0)

说明(i) 中有这个质因数，且是(i) 的最小质因数

则 (d(i*prime[j])=(1+k_1+1)*(1+k_2)*(1+k_3)*...(1+k_q))

​ (=d(i)/num(i) * (num(i) +1))

(num(i*prime[j])=num(i)+1)

1. (i mod prime[j]!=0)

   说明(i) 中没有这个质因数，且(prime[j]) 为(i*prime[j]) 的最小质因数

   则(d(i*prime[j])=(1+k_1)*(1+k_2)*(1+k_3)*...(1+k_q)*(1+k_{q+1}))

   ​ (=d(i)*(1+k_{q+1}))

   ​ (=d(i)*2)

   (num(i*prime[j])=2)

   这里由于(prime[j]) 是第一次出现 所以是2