通过康托逆展开生成全排列

　　康托展开的公式是：X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0! 其中，ai为当前未出现的元素中是排在第几个（从0开始）。
　  例如，有一个数组 s = ["A", "B", "C", "D"]，它的一个排列 s1 = ["D", "B", "A", "C"]，现在要把 s1 映射成 X。n 指的是数组的长度，也就是4，所以
X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0!
关键问题是 a4、a3、a2 和 a1 等于啥？
a4 = "D" 这个元素在子数组 ["D", "B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素，"B"是第1大的元素，"C" 是第2大的元素，"D"是第3大的元素，所以 a4 = 3。
a3 = "B" 这个元素在子数组 ["B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素，"B"是第1大的元素，"C" 是第2大的元素，所以 a3 = 1。
a2 = "A" 这个元素在子数组 ["A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素，"C"是第1大的元素，所以 a2 = 0。
a1 = "C" 这个元素在子数组 ["C"] 中是第几大的元素。"C" 是第0大的元素，所以 a1 = 0。（因为子数组只有1个元素，所以a1总是为0）
所以，X(s1) = 3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20

通过康托逆展开生成全排列
　　如果已知 s = ["A", "B", "C", "D"]，X(s1) = 20，能否推出 s1 = ["D", "B", "A", "C"] 呢？
　　因为已知 X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0! = 20，所以问题变成由 20 能否唯一地映射出一组 a4、a3、a2、a1？如果不考虑 ai 的取值范围，有
3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20
2*3! + 4*2! + 0*1! + 0*0! = 20
1*3! + 7*2! + 0*1! + 0*0! = 20
0*3! + 10*2! + 0*1! + 0*0! = 20
0*3! + 0*2! + 20*1! + 0*0! = 20
等等。但是满足 0 <= ai <= n-1 的只有第一组。可以使用辗转相除的方法得到 ai，如下图所示：

知道了a4、a3、a2、a1的值，就可以知道s1[0] 是子数组["A", "B", "C", "D"]中第3大的元素 "D"，s1[1] 是子数组 ["A", "B", "C"] 中第1大的元素"B"，s1[2] 是子数组 ["A", "C"] 中第0大的元素"A"，s[3] 是子数组 ["C"] 中第0大的元素"C"，所以s1 = ["D", "B", "A", "C"]。

c++代码如下：

#include<cstdio>  
#include<cstring>  
const int fac[10] = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320,362880};///阶乘  
int n;   
bool vis[10];    

void invKT(int k) { //输出第k个全排列   
    int i, j, t;  
    memset(vis, 0, sizeof(vis));  
    for (i = 0; i < n; i++) {  
        t = k / fac[n - i - 1];  //查找第t大的元素 
        for (j = 1; j <= n; j++)  
            if (!vis[j]) {  
                if (t == 0) break;  
                t--;  
            }  
        char ch=j+48;    //输出字符格式，减少占用的空间 
        printf("%c ", ch); 
        vis[j] = true;  
        k %= fac[n - i - 1];///余数  
    }  
}  

int main()  
{  
    scanf("%d",&n);
    int m=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) m=m*i;
    for(int k=0;k<m;k++){
        invKT(k);  
           printf("
");
    }
}  

提交codevs1294（http://codevs.cn/problem/1294/）没有发现明显优势：

从1294看程序的使用空间（特别是第5个点）：
康托展开式：

普通全排列算法：

       

附普通全排列的代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
int a[100],p[100] ;
int n;
int main(){
    cin>>n;
    for (int i=1;i<=n;i++) {a[i]=i;cout<<i<<" ";}//初值为最小的字母表顺序
    cout<<endl;
    while (next_permutation(a+1,a+n+1)){
        for (int i=1;i<n;i++) printf("%d ",a[i]);
        printf("%d
",a[n]);
    }
    return 0;
}

 说明：除了程序代码，大部分文字来源于：https://www.cnblogs.com/1-2-3/archive/2011/04/25/generate-permutation-part2.html