【BZOJ5305】【HAOI2018】—苹果树（组合数学）

传送门

考虑枚举每一个$i$，以及它的子树大小$j$
显然对于$i$和他父亲的边的贡献就是$j*(n-j)$
考虑一个大小为$n$的二叉树，它所有可能的形态有$n!$种
那么对于点$i$，这时整棵树形态有$i!$种

那么大小为$j$的树的方案数就是之后$n-i$个点种填入$j-1$个点的可能乘上这个二叉树所有的形态，即$C_{j-1}^{n-i}*j!$

考虑对于剩下的$n-j-i+1$个点，第一个点可以插入$i-1$个点，第二个可以插入$i$个点……，那么最后一个点就可以插入$n-j-1$个点
乘起来也就是$frac{(n-j-1)!}{(i-2)!}$

那么把所有乘起来$ans=sum_{i=2}^{n}sum_{j=1}^{n-i+1}j*(n-j)*C_{j-1}^{n-i}*j!*frac{(n-j-1)!}{(i-2)!}$
$=sum_{i=2}^{n}sum_{j=1}^{n-i+1}j*j!*C_{j-1}^{n-i}*(n-j)!*i*(i-1)$

$n^2$暴力枚举$i,j$就可以了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define int long long
inline int read(){
	char ch=getchar();
	int res=0,f=1;
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-f;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch))res=(res+(res<<2)<<1)+(ch^48),ch=getchar();
	return res*f;
}
const int N=2005;
int n,mod,fac[N],c[N][N];
ll ans=0;
signed main(){
	n=read(),mod=read();
	c[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		c[i][0]=1;
		for(int j=1;j<=i;j++){
			c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;
		}
	}
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n-i+1;j++){
			ans=(ans+1ll*j*c[n-i][j-1]%mod*fac[j]%mod*fac[n-j]%mod*i%mod*(i-1)%mod)%mod;
		}
	}
	cout<<ans;
}