引用：https://blog.csdn.net/auto_ac/article/details/9907881
很多概率题总逃不开用dp转移。
期望题总是倒着推过来的，概率是正着推的，多做题就会理解其中的原因
有些期望题要用到有关 概率 或 期望的常见公式或思想
遇到dp转移方程(组)中有环的，多半逃不出高斯消元（手动 和 写代码 两种）
这套题中还有道树上的dp转移，还用dfs对方程迭代解方程， 真是大开眼界了
当然还有与各种算法结合的题，关键还是要学会分析
当公式或计算时有除法时， 特别要注意分母是否为零
概率：
入门题：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3853
题意：一开始在矩阵左上角，每次有三种可能的选择（有对应的概率）向下走、向右走、原地不动，每次都有2的消耗，问到矩阵右下角的期望消耗是多少？
分析：设dp[i][j]表示从位置[i,j]到右下角的期望，那么dp[i][j]=dp[i][j]*(原地不动的概率)+dp[i+1][j]*(向下走的概率）+dp[i][j+1]*(向右走的概率）移项得公式
#include<cstdio> using namespace std; const int M=1003; double p[M][M][5],dp[M][M]; int main(){ int n,m; while(~scanf("%d%d",&n,&m)){ for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) scanf("%lf%lf%lf",&p[i][j][1],&p[i][j][2],&p[i][j][3]); dp[n][m]=0; for(int i=1;i<=n;i++) dp[i][m+1]=0; for(int i=1;i<=m;i++) dp[n+1][i]=0; for(int i=n;i>0;i--){ for(int j=m;j>0;j--){ if(p[i][j][1]==1||i==n&&j==m) continue; dp[i][j]=(dp[i+1][j]*p[i][j][3]+dp[i][j+1]*p[i][j][2]+2)/(1-p[i][j][1]); } } printf("%.3f ",dp[1][1]); } return 0; }
练习：
题1：http://poj.org/problem?id=3744
题意：在水平面上设置一些类似障碍的东西，然后一个人从位置1开始行动，有p的概率跳一个单位，有1-p的概率跳俩个单位，问这个人跳过全部障碍的概率是多少；
分析：对于这个公式应该一秒就出来了，不过给定的n个障碍物的位置会达到10^8级别，所以我们用矩阵快速幂来解决（类似就菲...数列一样）构造出基矩阵就行
#include<cstdio> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; double c[2][2],b[2][2],t[2][2]; int a[100]; double p; void mul(double x[][2],double y[][2]){///return x=x*y for(int i=0;i<2;i++) for(int j=0;j<2;j++) c[i][j]=0; for(int i=0;i<2;i++) for(int j=0;j<2;j++){ for(int k=0;k<2;k++) c[i][j]+=x[i][k]*y[k][j]; } for(int i=0;i<2;i++) for(int j=0;j<2;j++) x[i][j]=c[i][j]; } void sksm(int n){ b[0][0]=p, b[0][1]=1; b[1][0]=1.0-p,b[1][1]=0; t[0][0]=1,t[0][1]=0; t[1][0]=0,t[1][1]=1; while(n){ if(n&1){ mul(t,b); } mul(b,b); n>>=1; } } int main(){ int n; while(~scanf("%d%lf",&n,&p)){ for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]); sort(a,a+n); double ans=1.0; sksm(a[0]-1); ans*=(1-t[0][0]); for(int i=1;i<n;i++){ sksm(a[i]-a[i-1]-1); ans*=(1-t[0][0]); } printf("%.7f ",ans); } return 0; }
题2：http://poj.org/problem?id=3071
题意：模拟足球比赛淘汰制，给定每个球队战胜别的球队的概率，输出能最后胜出的球队的编号
分析：用dp算出所有队伍每次晋级的dp值依次往上推就行
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<iostream> using namespace std; typedef long long ll; const int M=266; double a[M][M],dp[M],c[M]; int main(){ int t; while(~scanf("%d",&t)){ if(t==-1) break; int n=1; for(int i=1;i<=t;i++) n<<=1; //cout<<n<<endl; for(int i=1;i<=n;i++){ dp[i]=1.0; for(int j=1;j<=n;j++) scanf("%lf",&a[i][j]); } int nowlen=1; for(int i=1;i<=t;i++){ for(int j=1;j<=n;j++) c[j]=dp[j],dp[j]=0; nowlen<<=1; for(int j=1;j<=n;j+=nowlen){ int l=j,r=j+nowlen-1; int midd=(l+r)>>1; for(int k=l;k<=midd;k++){ for(int p=midd+1;p<=r;p++) dp[k]+=c[k]*a[k][p]*c[p]; } for(int k=midd+1;k<=r;k++){ for(int p=l;p<=midd;p++) dp[k]+=c[k]*a[k][p]*c[p]; } } } double maxx=0; int ansi=1; for(int i=1;i<=n;i++){ if(maxx-dp[i]<0){ maxx=dp[i]; ansi=i; } // printf("%.7f ",dp[i]); } printf("%d ",ansi); } return 0; }
题3：http://codeforces.com/problemset/problem/148/D
题意：有w只白鼠，b只黑鼠，问先手抓到第一次白鼠的概率，其中后手抓完后在所有老鼠中会随机地跑掉一只
分析：记忆化搜索
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int M=1e3+3; int vis[M][M]; double dp[M][M]; double dfs(int noww,int nowb){ if(noww<=0) return 0; if(nowb<=0) return 1; if(vis[noww][nowb]==1) return dp[noww][nowb]; vis[noww][nowb]=1; double &res=dp[noww][nowb]; res=noww*1.0/(noww+nowb);///这次取到白色 if(nowb>=2){ ///失败俩次来捉黑鼠 double x=nowb*1.0/(noww+nowb); nowb--; x*=nowb*1.0/(noww+nowb); nowb--; /// 白鼠溜了 黑鼠溜了 res+=x*(noww*1.0/(noww+nowb)*dfs(noww-1,nowb))+x*(nowb*1.0/(nowb+noww)*dfs(noww,nowb-1)); } return res; } int main(){ double n,m; scanf("%lf%lf",&n,&m); printf("%.9f ",dfs(n,m)); return 0; }
期望：
题1：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/697/A
分析：
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int mod=1000000007; const int M=2e5+5; ll dp[M]; ll ksm(ll a,ll b){ ll t=1; while(b){ if(b&1) t=t*a%mod; a=a*a%mod; b>>=1; } return t; } int main(){ int n; scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++){ ll x,y; scanf("%I64d%I64d",&x,&y); dp[i]=(dp[i-1]+1)*y%mod*ksm(x,mod-2)%mod; } printf("%I64d",dp[n]); }