强化学习读书笔记 - 02 - 多臂老O虎O机问题
学习笔记：
Reinforcement Learning: An Introduction, Richard S. Sutton and Andrew G. Barto c 2014, 2015, 2016
数学符号的含义
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通用
(a) - 行动(action)。
(A_t) - 第t次的行动(select action)。通常指求解的问题。 -
在老O虎O机问题中
(q_*(a)) - 行动 a 的真实奖赏(true value)。这个是（实际中）不可知的。期望计算的结果收敛(converge)与它。
(N_t(a)) - 在第t次之前，行动a被选择的次数。
(R_t) - 第t步的实际奖赏(actual reward)。
(Q_t(a)) - 行动 a 在第t次前（不包括第t次）的实际平均奖赏。
(H_t(a)) - 对于行动a的学习到的倾向。
(epsilon) - 在ε-贪婪策略中，采用随机行动的概率([0, 1))。
多臂老O虎O机问题
一般的老O虎O机只有一个臂（杆）。你塞10个硬币，拉一下杆，老O虎O机可能会吐出来一两个硬币，或者100个硬币。
多臂老O虎O机有多个杆（象征着多个行动(action)，每个杆有自己特有的吐钱逻辑）。
注意：每个杆的吐钱概率可能是固定的(stationary)，也可能是不固定的(non-stationary)。不固定在现实中更常见。
多臂老O虎O机问题就是在许多次尝试后，找到一个有效收益的策略。
多臂老O虎O机问题是统计学、工程、心理学的一个经典问题。不要小看了这个问题，很多权威都研究过。
在强化学习方面，我们通过这个问题，可以了解强化学习的基本概念和算法的思路。其中包括：
- 探索(exploration)和采用(exploitation)的权衡
- 贪婪(greedy)
- 收敛(convergence)
- 参数初始化的重要性
- 梯度递减(gradient descent)
（注：梯度递增和梯度递减的意思一样，只是看问题的方向不一样。）
等等。
如何判断算法的好坏
在讨论算法前，我们先考虑判断算法好坏的标准。
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建立模型
建立一个10臂老O虎O机。
每个臂的真实行动价值(q_*(a), a = 1, dots, 10)是一个符合（平均值=0, 方差=1）的正态分布。
每个臂的每次行动的估值(R_t(a))是一个符合（平均值=(q_*(a)), 方差=1）的正态分布。 -
测试标准
- 平均奖赏 - 奖赏越多越好
- 最优行动 - 和实际最优行动一致的比率越大越好
解决方法
行动-价值方法 (action-value method)
在决定第t次的行动(A_t)时，使用下面的算法。
- 贪婪方法(greedy method)
总是选择当前取得最大收益的行动。
特点：最大化采用(exploitation)。
算法的过程如下：
初始： (Q_0(a), a = 1, cdots, 10) 都为0；
每个杆（action）都拉一下。 (Q_0(a), a = 1, cdots, 10) 有了新值。
根据当前平均收益最大的杆，当做本次选择的杆。
- ε - 贪婪方法(ε-greedy method)
ε - 读作epsilon。有弹性的意思。
一般情况下选择当前取得最大收益的行动，但是有一定比例ε的行动是随机选择的。
特点：增强了探索(exploration)性。
算法的过程如下：
初始： (Q_0(a), a = 1, cdots, 10) 都为0；
每个杆（action）都拉一下。 (Q_0(a), a = 1, cdots, 10) 有了新值。
根据当前平均收益最大的杆，当做本次选择的杆。
同时根据(ε)的值，随机选择一个杆。（比如：(ε=0.1)，每十次随机选择一个杆）
增值实现(incremental implementation)
如何计算(Q_t)。
算法
带权值步长的增值实现(incremental implementation with weighted step size)
一个替代算法。用步长(alpha) 代替$ frac{1}{t-1}$。
算法
解释
这个算法利于解决非稳定(non-stationary)问题。
非稳定(non-stationary)问题意味着(q_*(a))是会发生变化的。因此，最近几次的奖赏更具代表性。
(alpha)越大，意味着最近奖赏的权重越大。
这里也可以看到梯度计算的影子。
优化初始值(Optimistic initial values)
优化初始值(Q_1(a))，如果赋值越大，会鼓励探索。
初始值为0时，ε - 贪婪方法(ε=0.1) 好于 ε - 贪婪方法(ε=0.01) 好于 贪婪方法。
看来冒一定风险还是有好处的。
初始值为5的贪婪方法 好于 ε - 贪婪方法(ε=0.1)。
有钱人更容易成功。
置信上界选择算法 (Upper-Confidence-Bound action selection)
可理解为求每个行动的最大可信值，选择最大可信值最大的行动。
算法
算法理解
这个算法在计算：第t次的行动应该是什么？
我们没有说：“第t次的最优行动应该是什么？”。为什么不说最优呢？
因为，强化学习的目的是总体最优，不是局部最优，因此“第t次的最优行动”不是强化学习最求的目标。
(c)是一个可调的参数。我们在理解中不用太关心它，当它是(1)好了。
在机器学习中，算法一般都有几个参数可以调节。不同环境中，调节参数最优化可以很大的提高算法的质量。
(Q_t(a)) - 行动a当前的奖赏。
(t) - 第t次。
(log{t}) - 求t的指数。随着t变大，(log{t})变大的速度变慢。
(N_t(a)) - 行动a被选择的次数。
(left [ sqrt{frac{log{t}}{N_t(a)}} ight ]) - 由于(frac{log{t}}{N_t(a)} < 1 ext{， when x > 7 })， 求平方根，反而是起了一个放缓、放大的作用。
在没有奖赏的情况下：(Q_t(a)) 不变。(log{t})比(N_t(a))变化的慢，因此总结果会变小。
- 梯度老O虎O机算法 (Gradient Bandit Algorithms)
之前的算法，主要是通过发生的事件，根据行动的估计奖赏，来决定选择哪个行动。
梯度算法是：通过发生的事件，根据行动的倾向(H_t(a))，来决定选择哪个行动。
（个人没看出有什么不同）。
softmax是一个激活函数。通常用于输出的概率计算，就是现在看到的例子。