数列极限的乘法定律

若{$a_{n}$}与{$b_{n}$}为收敛数列，则{$a_{n} cdot b_{n}$}为收敛数列，且有 $lim_{n oinfty} ( a_{n} cdot b_{n} ) = lim_{n oinfty}  a_{n}  cdot lim_{n oinfty}  b_{n} $

证明：

     设$lim_{n oinfty}a_{n} = a, lim_{n oinfty}b_{n} = b$, 则 $forall>0$, 分别存在正数$N_{1}$与正数$N_{2}$, 有

      $left|a_{n}-a ight| < epsilon$, 当 n > $N_{1}$

      $left|b_{n}-a ight| < epsilon$, 当 n > $N_{2}$

     设N = max{$N_{1}$，$N_{2}$}，则当 n > N 时上述两不等式同时成立，所以有

      $left|a_{n}b_{n}  - ab ight|$     =  $left|a_{n}b_{n} - a b_{n} + ab_{n} - ab   ight|$

                                =  $left|(a_{n} - a )b_{n} + a(b_{n} - b)   ight|$

                               

 由收敛数列的有界性定理，存在正整数M，对一切 n 有$left|b_{n} ight|$ < M. 于是，当 n>N 时，

      $left|a_{n}b_{n}  - ab ight| le $ ( M + $left|a ight|) epsilon $     

　　由 $epsilon$ 的任意性，可得 $lim_{n oinfty}a_{n}b_{n} = ab$,

证毕.