(---------------下面是原文第9页---------------)
(quad)
(quadquad 如果我们再稍微仔细些研究alpha>eta 的情况，显然，小的这个数eta 如果是有理数，那么必然属于A_{1},因为在A_{1}中)
(存在一个数a_{1}'=b_{2}'属于 B_{2},于是有，不管eta是B_{1}的最大值还是B_{2}的最小值，都有etale a_{1}',因此eta属于A_{1}.)
(同理,很显然，由alpha>eta,可知alpha属于B_{2},因为alphageq a_{1}'。结合上述两点，可得下面结果，如果一个切割是由数alpha产生，)
(那么任何一个有理数，如果小于alpha的数，划分于A_{1}，否则划分于A_{2};如果alpha是有理数，那么它自己可以随意划归于A_{1}或A_{2}).
(quadquad 最终，我们得到：若alpha>eta,即，如果有无穷多数，属于A_{1}，但是不属于B_{1},那么必然有无穷多数，既不同)
(于alpha也不同于eta;每个这样的数c都小于alpha，因为它属于A_{1}；同时c>eta,因为c属于B_{2})
(quadquadquadquad V)
(quadquadquad 实数域的连续性)
(作为前述特性产物，包含全体实数的系统R，建立了一个布局良好的一维域；这一切都是为了证明如下的结论：)
(I.若alpha>eta,且eta>gamma,则alpha > gamma .我们说eta在alpha和gamma之间)
(II.若alpha和gamma是两个不同的数，那么此二数之间有无穷多数eta存在；)
(III.若alpha是任意一个有限数，那么实数域R被分成A_{1}和A_{2}两类，每个类都包含无数多数，第一类A_{1}包含所有小于)
(alpha的数，第二类A_{2}包含所有大于alpha的数，alpha可以被任意归入任何一类，且相应成为A_{1}类的最大值或A_{2}类的最小值；)
(不管是上述哪一种情况，都会得到这样的结果：系统R被分成两类，第一类里的所有数，都小于第二类的所有数；并且我们说这个分割是alpha产生的；)
(quadquad 为简洁起见，也为了避免让读者太累，我把前面用的那些定理的证明放在了后面。)
(quadquad 除了上述特性，域R还有连续性；即，下面的定理成立：)
(quad IV.若包含全体实数的系统R被分成两部分A_{1}和A_{2},使得A_{1}中的所有数均小于和A_{2}中所有数，那么，)
(有且只有一个数能产生这样的分割；)
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