数据结构复习之【排序】

排序：对一序列对象根据某个关键字进行排序；

稳定：如果a原本在b前面，而a=b，排序之后a仍然在b的前面；

不稳定：如果a原本在b的前面，而a=b，排序之后a可能会出现在b的后面；

内排序：所有排序操作都在内存中完成；

外排序：由于数据太大，因此把数据放在磁盘中，而排序通过磁盘和内存的数据传输才能进行；

排序耗时的操作：比较、移动；

排序分类：

(1)交换类：冒泡排序、快速排序；此类的特点是通过不断的比较和交换进行排序；

(2)插入类：简单插入排序、希尔排序；此类的特点是通过插入的手段进行排序；

(3)选择类：简单选择排序、堆排序；此类的特点是看准了再移动；

(4)归并类：归并排序；此类的特点是先分割后合并；

历史进程：一开始排序算法的复杂度都在O(n^2)，希尔排序的出现打破了这个僵局；

以下视频是Sapientia University创作的，用跳舞的形式演示排序步骤，这些视频就可以当作复习排序的资料~

冒泡排序视频：http://v.youku.com/v_show/id_XMzMyOTAyMzQ0.html

选择排序视频：http://v.youku.com/v_show/id_XMzMyODk5MDI0.html

插入排序视频：http://v.youku.com/v_show/id_XMzMyODk3NjI4.html

希尔排序视频：http://v.youku.com/v_show/id_XMzMyODk5MzI4.html

归并排序视频：http://v.youku.com/v_show/id_XMzMyODk5Njg4.html

快速排序视频：http://v.youku.com/v_show/id_XMzMyODk4NTQ4.html

上面介绍的排序算法都是基于排序的，还有一类算法不是基于比较的排序算法，即计数排序、基数排序；

预备：最简单的排序

此种实现方法是最简单的排序实现；

缺点是每次找最小值都是单纯的找，而没有为下一次寻找做出铺垫；

算法如下：

public static int[] simple_sort(int[] arr) {
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
        for (int j = i + 1; j < arr.length; j++) {
            if (arr[i] > arr[j]) {
                swap(arr, i, j);
            }
        }
    }
    return arr;
}

一、冒泡排序

冒泡排序相对于最简单的排序有了改进，即每次交换都是对后续有帮助的，大数将会越来越大，小的数将会越来越小；

冒泡排序思想：两两相邻元素之间的比较,如果前者大于后者，则交换；

因此此排序属于交换排序一类，同类的还有现在最常用的排序方法：快速排序；

1.标准冒泡排序

此种方法是最一般的冒泡排序实现，思想就是两两相邻比较并交换；

算法实现如下：

public static int[] bubble_sort2(int[] arr) {
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
        for (int j = arr.length - 1; j > i; j--) {
            if (arr[j] < arr[j - 1]) {
                swap(arr, j, j - 1);
            }
        }
    }
    return arr;
}

2.改进冒泡排序

改进在于如果出现一个序列，此序列基本是排好序的，如果是标准的冒泡排序，则还是需要进行不断的比较；

改进方法：通过一个boolean isChanged，如果一次循环中没有交换过元素，则说明已经排好序；

算法实现如下：

// 最好：n-1次比较，不移动,因此时间复杂度为O(n)，不占用辅助空间
// 最坏：n(n-1)/2次比较和移动，因此O(n^2)，占用交换的临时空间，大小为1；
public static int[] bubble_sort3(int[] arr) {
    boolean isChanged = true;
    for (int i = 0; i < arr.length && isChanged; i++) {
        isChanged = false;
        for (int j = i + 1; j < arr.length; j++) {
            if (arr[i] > arr[j]) {
                swap(arr, i, j);
                isChanged = true;
            }
        }
    }
    return arr;
}

二、简单选择排序

简单选择排序特点：每次循环找到最小值，并交换，因此交换次数始终为n-1次；

相对于最简单的排序，对于很多不必要的交换做了改进，每个循环不断比较后记录最小值，只做了一次交换（当然也可能不交换，当最小值已经在正确位置）

算法如下：

//最差：n(n-1)/2次比较，n-1次交换，因此时间复杂度为O(n^2)
//最好：n(n-1)/2次比较，不交换，因此时间复杂度为O(n^2)
//好于冒泡排序
public static int[] selection_sort(int[] arr) {
    for (int i = 0; i < arr.length - 1; i++) {
        int min = i;
        for (int j = i + 1; j < arr.length; j++) {
            if (arr[min] > arr[j]) {
                min = j;
            }
        }
        if (min != i)
            swap(arr, min, i);
    }
    return arr;
}

三、简单插入排序

思想: 给定序列，存在一个分界线，分界线的左边被认为是有序的，分界线的右边还没被排序，每次取没被排序的最左边一个和已排序的做比较，并插入到正确位置；我们默认索引0的子数组有序；每次循环将分界线右边的一个元素插入有序数组中，并将分界线向右移一位；

算法如下：

// 最好:n-1次比较，0次移动 ,时间复杂度为O(n)
// 最差:(n+2)(n-1)/2次比较，(n+4)(n-1)/2次移动，时间复杂度为 O(n^2)
public static int[] insertion_sort(int[] arr) {
    int j;
    for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
        if (arr[i] < arr[i - 1]) {
            int tmp = arr[i];
            for (j = i - 1; j >= 0 && arr[j] > tmp; j--) {
                arr[j + 1] = arr[j];
            }
            arr[j + 1] = tmp;
        }
    }
    return arr;
}

简单插入排序比选择排序和冒泡排序好！

四、希尔排序

1959年Shell发明；

第一个突破O(n^2)的排序算法；是简单插入排序的改进版；

思想：由于简单插入排序对于记录较少或基本有序时很有效，因此我们可以通过将序列进行分组排序使得每组容量变小，再进行分组排序，然后进行一次简单插入排序即可；

这里的分组是跳跃分组，即第1,4,7位置为一组，第2，5，8位置为一组，第3，6，9位置为一组；

索引

1

2

3

4

5

6

7

8

9

此时，如果increment=3，则i%3相等的索引为一组，比如索引1，1+3，1+3*2

一般增量公式为：increment = increment/3+1;

算法实现如下：

// O(n^(3/2))
//不稳定排序算法
public static int[] shell_sort(int[] arr) {
    int j;
    int increment = arr.length;
    do {
        increment = increment / 3 + 1;
        for (int i = increment; i < arr.length; i++) { //i=increment 因为插入排序默认每组的第一个记录都是已排序的
            if (arr[i] < arr[i - increment]) {
                int tmp = arr[i];
                for (j = i - increment; j >= 0 && arr[j] > tmp; j -= increment) {
                    arr[j + increment] = arr[j];
                }
                arr[j + increment] = tmp;
            }
        }
    } while (increment > 1);
    return arr;
}

五、堆排序

Floyd和Williams在1964年发明；

大根堆：任意父节点都比子节点大；

小根堆：任意父节点都比子节点小；

不稳定排序算法，是简单选择排序的改进版；

思想：构建一棵完全二叉树，首先构建大根堆，然后每次都把根节点即最大值移除，并用编号最后的节点替代，这时数组长度减一，然后重新构建大根堆，以此类推；

注意：此排序方法不适用于个数少的序列，因为初始构建堆需要时间；

算法实现如下：

       // 时间复杂度为O(nlogn)
//不稳定排序算法
//辅助空间为1
//不适合排序个数较少的序列
public static int[] heap_sort(int[] arr) {
    int tmp[] = new int[arr.length + 1];
    tmp[0] = -1;
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
        tmp[i + 1] = arr[i];
    }
    // 构建大根堆：O(n)
    for (int i = arr.length / 2; i >= 1; i--) {
        makeMaxRootHeap(tmp, i, arr.length);
    }
    // 重建：O(nlogn)
    for (int i = arr.length; i > 1; i--) {
        swap(tmp, 1, i);
        makeMaxRootHeap(tmp, 1, i - 1);
    }
    for (int i = 1; i < tmp.length; i++) {
        arr[i - 1] = tmp[i];
    }
    return arr;
}

private static void makeMaxRootHeap(int[] arr, int low, int high) {
    int tmp = arr[low];
    int j;
    for (j = 2 * low; j <= high; j*=2) {
        if (j < high && arr[j] < arr[j + 1]) {
            j++;
        }
        if (tmp >= arr[j]) {
            break;
        }
        arr[low] = arr[j];
        low = j;
    }
    arr[low] = tmp;
}

六、归并排序

稳定排序算法；

思想：利用递归进行分割和合并，分割直到长度为1为止，并在合并前保证两序列原本各自有序，合并后也有序；

实现代码如下：

// 稳定排序；
// 时间复杂度O(nlogn)
// 空间复杂度：O(n+logn)
public static int[] merge_sort(int[] arr) {
    Msort(arr, arr, 0, arr.length - 1);
    return arr;
}

private static void Msort(int[] sr, int[] tr, int s, int t) {
    int tr2[] = new int[sr.length];
    int m;
    if (s == t) {
        tr[s] = sr[s];
    } else {
        m = (s + t) / 2;
        Msort(sr, tr2, s, m);
        Msort(sr, tr2, m + 1, t);
        Merge(tr2, tr, s, m, t);
    }
}

private static void Merge(int[] tr2, int[] tr, int i, int m, int t) {
    int j, k;
    for (j = i, k = m + 1; i <= m && k <= t; j++) {
        if (tr2[i] < tr2[k]) {
            tr[j] = tr2[i++];
        } else {
            tr[j] = tr2[k++];
        }
    }
    while (i <= m) {
        tr[j++] = tr2[i++];
    }
    while (k <= t) {
        tr[j++] = tr2[k++];
    }
}

七、快速排序

冒泡排序的升级版；现在用的最多的排序方法；

思想：选取pivot，将pivot调整到一个合理的位置，使得左边全部小于他，右边全部大于他；

注意：如果序列基本有序或序列个数较少，则可以采用简单插入排序，因为快速排序对于这些情况效率不高；

实现代码如下：

       // 不稳定排序算法
// 时间复杂度：最好：O(nlogn) 最坏：O(n^2)
// 空间复杂度：O(logn)
public static int[] quick_sort(int[] arr) {
    qsort(arr, 0, arr.length - 1);
    return arr;
}

private static void qsort(int[] arr, int low, int high) {
    int pivot;
    if (low < high) {
        pivot = partition(arr, low, high);
        qsort(arr, low, pivot);
        qsort(arr, pivot + 1, high);
    }
}

private static int partition(int[] arr, int low, int high) {
    int pivotkey;
    pivotkey = arr[low];//选择pivot，此处可以优化
    while (low < high) {
        while (low < high && arr[high] >= pivotkey) {
            high--;
        }
        swap(arr, low, high);//交换，此处可以优化
        while (low < high && arr[low] <= pivotkey) {
            low++;
        }
        swap(arr, low, high);
    }
    return low;
}

优化方案

(1)选取pivot：选取pivot的值对于快速排序至关重要，理想情况，pivot应该是序列的中间数；

而前面我们只是简单的取第一个数作为pivot，这点可以进行优化；

优化方法：抽多个数后取中位数作为pivot；

(2)对于小数组使用插入排序：因为快速排序适合大数组排序，如果是小数组，则效果可能没有简单插入排序来得好；

如果想进行优化，则可以使用以下代码：

public static int[] quick_sort(int[] arr) {
    if(arr.length>10){
        qsort(arr, 0, arr.length - 1);
    }
    else{
        insertion_sort(arr);
    }
    return arr;
}

八、计数排序

计数排序是典型的不是基于比较的排序算法，基于比较的排序算法最少也要O(nlogn)，有没有可能创造线性时间的排序算法呢？那就是不基于比较的排序算法；

如果数组的数据范围为0~100，则很适合此算法；

复杂度： O(n+k), n为原数组长度，k为数据范围；

思想：

(1)首先找出数组中的最大值，然后创建一个计数数组（用来记录每个元素的数量）,长度为max，比如数组为{1,1,2,3,4,5}，则创建一个长度为6的数组count[]，count[1]存放数值1出现的次数，即2；

(2)填充count数组,即遍历原数组，并且count[arr[i]-1]++;

(3)对count数组进行累加，即count[i] = count[i] + count[i-1];

(4)反向填充result数组，result[count[arr[i]]-1] = arr[i];

代码如下：

import java.util.ArrayList;
import java.util.Scanner;


/**
 * 计数排序适用于：
 *  (1)数据范围较小，建议在小于1000
 *  (2)每个数值都要大于等于0
 * @author xiazdong
 *
 */
public class Count_Sort {

    public static void main(String[] args) {
        int[] array = readArray();
        System.out.print("排序前数组为：");
        print(array);
        int result[] = count_sort(array);
        System.out.print("排序后数组为：");
        print(result);
    }

    //读取数组函数
    private static int[] readArray() {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        ArrayList<Integer> list = new ArrayList<Integer>();
        while(true){
            System.out.print("输入数字：");
            int element = in.nextInt();
            if(element==-1){
                break;
            }
            else{
                list.add(element);
            }
        }
        Integer[] arr = list.toArray(new Integer[0]);
        int[]array = new int[arr.length];
        for(int i=0;i<arr.length;i++){
            array[i] = arr[i];
        }
        return array;
    }
    //计数排序
    public static int[] count_sort(int arr[]){
        int gap = findGap(arr);
        int[] count = new int[gap];
        int[] result = new int[arr.length];
        for(int i=0;i<arr.length;i++){
            count[arr[i]]++;
        }
        for(int i=1;i<count.length;i++){
            count[i] = count[i] + count[i-1];
        }
        //反向填充结果数组
        for(int i=arr.length-1;i>=0;i--){
            result[count[arr[i]]-1] = arr[i];
            count[arr[i]]--;
        }
        return result;
    }
    public static void print(int result[]){
        for(int a:result){
            System.out.print(a+" ");
        }
        System.out.println();
    }
    /**
     * 找出数组的数据范围，即最大数的值
     * @param arr
     * @return
     */
    private static int findGap(int[] arr) {
        int max = arr[0];
        for(int i=1;i<arr.length;i++){
            if(max<arr[i]){
                max = arr[i];
            }
        }
        return (max+1);
    }
}

九、基数排序

基数排序也是非比较的排序算法，对每一位进行排序，从最低位开始排序，复杂度为O(kn),为数组长度，k为数组中的数的最大的位数；

比如{987,789} ，先通过个位数排序：{987,789}，再通过十位数排序：{987,789}，再通过百位数排序：{789,987}

思想：

(1)取得数组中的最大数，并取得位数；

(2)arr为原始数组，从最低位开始取每个位组成radix数组；

(3)对radix进行计数排序（利用计数排序适用于小范围数的特点）；

import java.util.ArrayList;
import java.util.Scanner;


/**
 * 计数排序适用于：
 *  (1)数据范围较小，建议在小于1000
 *  (2)每个数值都要大于等于0
 * @author xiazdong
 *
 */
public class Count_Sort {

    public static void main(String[] args) {
        int[] array = new int[]{1046,2084,9046,12074,56,7026,8099,17059,33,1};
        System.out.print("排序前数组为：");
        print(array);
        int result[] = radix_sort(array);
        System.out.print("排序后数组为：");
        print(result);
    }

    //基数排序 O(kn)
    public static int[] radix_sort(int[]arr){
        int radix[] = new int[arr.length];
        int count = 1;
        int n = findMaxLength(arr);
        for(int i=0;i<n;i++){
            radix = getRadix(arr,count);
            arr = count_sort(arr, radix);
            count *=10;
        }
        return arr;
    }
    private static int findMaxLength(int[] arr) {
        int max = arr[0];
        for(int i=1;i<arr.length;i++){
            if(max<arr[i]){
                max = arr[i];
            }
        }
        int count = 1;
        int mcount = 1;
        while((max / mcount)!=0){
            mcount = 1;
            count++;
            for(int i=0;i<count;i++){
                mcount *=10;
            }
        }
        return count;
    }


    //取得需要排序的位的数组
    private static int[] getRadix(int[] arr,int count) {    //O(n)
        int radix[] = new int[arr.length];
        for(int i=0;i<arr.length;i++){
            radix[i] = arr[i]/count % 10;
        }
        return radix;
    }

    //类似计数排序
    //arr为原始数组
    //radix为需要排序的位的数组
    public static int[] count_sort(int arr[],int radix[]){
        int gap = findGap(radix);
        int[] count = new int[gap];
        int[] result = new int[radix.length];
        for(int i=0;i<radix.length;i++){
            count[radix[i]]++;
        }
        for(int i=1;i<count.length;i++){
            count[i] = count[i] + count[i-1];
        }
        //反向填充结果数组
        for(int i=radix.length-1;i>=0;i--){
            result[count[radix[i]]-1] = arr[i];
            count[radix[i]]--;
        }
        return result;
    }
    public static void print(int result[]){
        for(int a:result){
            System.out.print(a+" ");
        }
        System.out.println();
    }
    /**
     * 找出数组的数据范围，即最大数的值
     * @param arr
     * @return
     */
    private static int findGap(int[] arr) {
        int max = arr[0];
        for(int i=1;i<arr.length;i++){
            if(max<arr[i]){
                max = arr[i];
            }
        }
        return (max+1);
    }
}

对比图

此图摘自http://www.cnblogs.com/cj723/archive/2011/04/29/2033000.html的图

总结：每个排序都有每个排序的优点，我们需要在适当的时候用适当的算法；

比如在基本有序、数组规模小时用直接插入排序；

比如在大数组时用快速排序；

比如如果要想稳定性，则使用归并排序；

摘录维基百科图片：