【转载】SG定理

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初始问题

给定 $N$ 堆石子，每堆有 $A_{i}$ 个石子。两个人轮流操作，每轮可以选一堆石子来取石子，可以取完，但不能不取。无法操作者输。问先手是否必胜。

SG定理

相信很多人都已经知道了这个定理。

假设现在有一个有向无环的游戏图 $G (V, E)$ ,若 $(i, j) \in E$ 则表示状态 $i$ 可以转移到状态 $j$ .

我们还要定义必胜态与必败态的概念。
必胜态表示，从当前状态可以转移到一个必败态。
必败态表示，从当前状态无法转移到一个必败态。

我们规定整个图不存在平局态。

设 $S G_{X}$

$S G_{X} = M E X ({S G_{Y}, Y | (X, Y) \in E})$

$M E X$ 是一个作用于集合的函数。 $M E X (S)$ 的值为最小的自然数 $b$ ,满足 $b \notin S$ .

最终若 $S G_{X}$ 为0，则 $X$ 为一个必败态。否则 $X$ 为必胜态。

证明

我们归纳的来证明这个定理。

假设对于之前的状态这是成立的。
现在新增了一个状态 $X$ .
若 $S G_{X} > 0$ ,则必然存在一个 $Y : (X, Y) \in E$ 满足 $S G_{Y} = 0$ .因为 $S G_{Y} = 0$ ,所以 $Y$ 为一个必败态。因此 $X$ 为一个必胜态。

若 $S G_{X} = 0$ ,则 $\forall_{y : (X, Y) \in E}, S G_{Y} > 0$ .也就是说他只能转移到必胜态。因此 $X$ 为一个必败态。

最终由于没有出边的状态 $Q$ 为必败态， $S G_{Q} = 0$ .所以归纳成立。

回归原问题

好像有了上面的定理我们就能做了？？？其实是不能的。

因为原问题中我们的一个状态 $X = (A_{1}, A_{2}, \dots, A_{N})$ .状态数实在是太多了。根本不可能存的下来。

但是假如只有一堆石子的话，
$S G_{(A_{1})} = M E X ({S G (j), j < A_{1}})$

最终化简得 $S G_{(A_{1})} = A_{1}$ .

然而并没有什么卵用

原问题是多个堆。但是两两之间没有什么影响啊？？能不能缩？

Another theorem

设一个游戏间的运算 $+$ , $X + Y$ 表示将 $X$ 与 $Y$ 复合。即这两个游戏相互不影响，但在同一个游戏 $X + Y$ 中。

设游戏 $X = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{N}$
记 $\oplus$ 表示 $x o r$ .
则 $S G_{X} = S G_{X_{1}} \oplus S G_{X_{2}} \oplus \dots S G_{X_{N}}$ .

Why?

Proof

首先考虑游戏 $X$ 具有的转移。
设 $X = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{N}$ .
因为一次只能选择一个单独的游戏进行,所以 $X$ 具有的转移其实是
$X_{1} + X_{2} + \dots + X_{i}^{'} + \dots + X_{N}, 1 \leq i \leq N$ .
其中 $X_{i}^{'}$ 为 $X_{i}$ 的一个转移。

设 $F_{X}$ 为 $X$ 的转移集合。

设 $b = S G_{X_{1}} \oplus S G_{X_{2}} \oplus \dots S G_{X_{N}}$ .

那么为了证明 $S G_{X} = b$ ,我们事实上只需要证明两条性质。

$\forall_{a \in N, a < b}, \exists_{x^{'} \in F_{x}} S G_{X^{'}} = a$ .
$\forall_{x^{'} \in F_{x}} S G_{X^{'}} \neq b$

证明第一条性质

我们同样需要采用归纳法来证明。

$\forall_{a \in N, a < b}, \exists_{x^{'} \in F_{x}} S G_{X^{'}} = a$ .

记 $d = b \oplus a$ , $d$ 的最高位为 $k$ .则必存在 $S G_{X_{i}}$ 的第 $k$ 位为1.

因为 $S G_{X_{i}} \oplus d < S G_{X_{i}}$ ,所以必然存在 $X^{'} \in F_{X_{i}}, S G_{X^{'}} = S G_{X_{i}} \oplus d$ .

因为 $d = b \oplus a \Rightarrow a = b \oplus d$ .即

a = S G_{X_{1}} \oplus S G_{X_{2}} \oplus \dots S G_{X_{i}} \oplus d \oplus \dots S G_{X_{N}}

又因为存在 $X^{'} \in F_{X_{i}}, S G_{X^{'}} = S G_{X_{i}} \oplus d$ ,

a = S G_{X_{1}} \oplus S G_{X_{2}} \oplus \dots S G_{X^{'}} \oplus \dots S G_{X_{N}}

因为 $X^{'} \in F_{X_{i}}$ ,所以 $X_{1} + X_{2} + \dots + X^{'} + \dots + X_{N} \in F_{X}$ .

所以
$\forall_{a \in N, a < b}, \exists_{x^{'} \in F_{x}} S G_{X^{'}} = a$ .

证明第二条性质

我们现在用反证法。

假设 $\exists_{x^{'} \in F_{x}} S G_{X^{'}} = b$

那么

S G_{X^{'}} = S G_{X_{1}} \oplus S G_{X_{2}} \oplus \dots S G_{X_{N}}

设 $X^{'} = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{i}^{'} + \dots + X_{N}$
$X = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{i} + \dots + X_{N}$
那么

S G_{X^{'}} = S G_{X_{1}} \oplus S G_{X_{2}} \oplus \dots \oplus S G_{X_{i}^{'}} \oplus \dots \oplus S G_{X_{N}}

那么就有 $S G_{X_{i}} = S G_{X_{i}^{'}}$

因为

S G_{X_{i}} = M E X (S G_{X_{i}^{'}})

S G_{X_{i}} \neq S G_{X_{i}^{'}}

矛盾

所以不存在 $S G_{X^{'}} = b$

得证。