矢量的叉积和点积计算

• 标量（Scalar，标量是只有模没有方向的量，即距离）。
• 矢量（Vector，也称为向量，矢量是有模和方向但没有位置的量，即方向加速度）。
• 点（点是没有大小之分的位置）。

1.标量k和矢量v的乘除：

　　相乘：kv=(k*vx, k*vy, k*vz);

　　相除：v/k=(vx/k, vy/k, vz/k); 只有矢量可以被标量除，标量不能被矢量除，那样是没有意义的。

 

2.矢量a和标量b的加减：

　　相加：a+b=(ax+bx, ay+by, az+bz);

　　相减：a-b=(ax-bx, ay-by, az-bz);

 

3.矢量的模：

　　矢量的模是一个标量，可以理解为矢量在空间内的长度。

　　公式：|v|=√(vx²+vy²+vz²);

4.单位矢量（矢量归一化）

　　单位矢量（即模为1的矢量），任何给定的非零矢量转换为单位矢量的过程被称为归一化。

　　在矢量的头上加一个 ^ 表示单位矢量。

　　公式：^v = v/|v|,v是任意非零矢量。

 

5.矢量的点积 dot(a,b)

　　点积的名称来源于其符号：a·b。

　　点积的计算结果是一个模。

　　点积的计算方式有两种：

　　　　公式一： a·b = ax*bx + ay*by + az*bz;

　　　　公式二： a·b = |a|*|b|*cosΘ; (可推出^a·^b = cosΘ).

　　点积有很多重要的性质：

　　　　性质一：点积可结合标量相乘。如：设k为标量，k(a·b）= a·(kb) = (ka).b;

　　　　性质二：点积可以结合矢量的加减法。如：a·(b+c) = a·b + a·c; a·(b-c) = a·b + a·-c;

　　　　性质三：矢量自己和自己的点积等于该矢量的模的平方。如：v·v = vxvx + vyvy + vzvz = |v|²；

　　　　性质四：两个单位矢量的点积等于他们夹角的余弦值。如 ^a·^b = cosΘ；

　　　　性质五：利用性质四可以计算出夹角的度数（当度数为0~180之间）。如：Θ = arcos(^a·^b),其中arcos是反余弦操作。

 6.矢量的叉积 

　　叉积的名称也来源于其符号：aXb。

　　与点积不同，叉积的结果是一个矢量。

　　公式一：aXb = (ax,ay,az)X(bx,by,bz) = (aybz - azby, azbx - axbz, axby - byax);

　　公式二：|aXb| = |a||b|sinΘ;

　　【aXb≠bXa，即，叉积不满足交换律；但它满足反交换律 aXb = -(bXa)；不满足结合律(aXb)Xc ≠ aX(bXc);】

　　

　　叉积最常见的用途是：

　　　　1）计算垂直于一个平面、三角形、多边形的矢量。

　　　　2）判断三角面片的朝向。