perspective projection
title: perspective projection tags: ["openGL", "Markdown", "mathjax"] notebook: notes
关于投影变换
NDC
我们先介绍一个概念,NDC(Normalized Device Coordinates).我们在opengl右手坐标系里建立的模型都会映射到NDC.所以所有的点坐标的分量都会在[-1,1]间,超出的将被clip掉.尔后,NDC将坐标映射到viewport(视口),那为什么会有NDC这个中间产物?计算方便。不管是在后面映射视口,还是矩阵计算.特别要注意的是NDC是左手坐标系
左为perspective projection,这跟我们看到的真实世界是一样的原理.有很强的3D视感.而右边.则是ortho projection,如果你学过工程制图.想必也很熟悉.没有近大远小的概念 下面,我们试着计算投影公式.这里我们用一下缩写
$$ cases{l=left \ r=right \ f=far \ n=near \ b=bottom \ t=top} $$
将下图的立方体空间映射到NDC空间.假设下面空间中一点$(x,y,z,w)$,求$(x_{ndc},y_{ndc},z_{ndc},w_{ndc})$
$$ frac{r-l}{2}=frac{x-l}{x_{ndc}+1} => x_{ndc}=frac{2}{r-l}x+frac{l+r}{l-r} $$
$y_{ndc},z_{ndc}$同理,很容易得到矩阵 $$ left[ egin{array}{cccccccccccccc} frac{2}{r-l}&0&0& frac{l+r}{l-r} \ 0&frac{2}{t-b}&0& frac{b+t}{b-t} \ 0&0&frac{2}{f-n}& frac{n+f}{n-f} \ 0&0&0&1 \ end{array} ight] $$
frustum 1
同样,根据等比公式,得到如下公式,我们假设还一组中间变量$(x_{p},y_{p},z_{p},w_{p})$,代表$(x,y,z,w)$映射到near面上的点.(注意,这里还没有转换到NDC) $$ cases{frac{z}{x}=frac{-n}{x_p}\ frac{z}{y}=frac{-n}{y_p}\ z_p=n} => cases{x_p=frac{-nx}{z} \ y_p=frac{-ny}{z} \ z_p=n} $$ 到这,我们已经做完了投影影射90%的工作,接下来我们需要将投影点再映射到NDC
以$x_p$为例 $$ cases{al+b=-1\ ar+b=1} => cases{a=frac{2}{r-l}\ b=frac{l+r}{l-r}} $$ 也就是说 $x_p$ 在NDC里的映射是用这个线性函数
$$ x_{ndc}=frac{2}{r-l}x_p+frac{l+r}{l-r}=frac{2}{r-l}frac{-nx}{z}+frac{l+r}{l-r} $$ 我们发现个问题..这写不进矩阵.但又发现,左右乘以z,有一些新发现
$$ z{x_{ndc}}=frac{-2n}{r-l}x + frac{l+r}{l-r} z $$
是不是有点感觉了
$$ left[ egin{array}{cccccccccccccc} frac{-2n}{r-l}&0&frac{l+r}{l-r}&0\ 0&0&0&0\ 0&0&0&0\ 0&0&0&0\ end{array} ight]left[ egin{array}{cccccccccccccc} x\ 0\ 0\ 1\ end{array} ight] =left[ egin{array}{cccccccccccccc} {x_{ndc}}*z\ 0\ 0\ 0\ end{array} ight] $$
同理,得到$y_p$
$$ left[ egin{array}{cccccccccccccc} frac{-2n}{r-l}&0&frac{l+r}{l-r}&0\ 0&frac{-2b}{t-b}&frac{b+t}{b-t}&0\ 0&0&0&0\ 0&0&0&0\ end{array} ight]left[ egin{array}{cccccccccccccc} x\ y\ 0\ 1\ end{array} ight]=left[ egin{array}{cccccccccccccc} x_{ndc} * z\ y_{ndc}*z\ 0\ 0\ end{array} ight] $$
到这个地方我得停住说点别的. 上面公式中,我们求到的点都是放大了当前点的z倍. 所以必须除以z.而除z这个操作,学名叫 perspective divide,这个操作不用你操心,opengl 管线中会自动处理.自动除z??不对啊.我们在投影变换完后$z_{npc}$轴都在一个平面了.还原不出原始的z了啊! 人类的智慧是无穷的.我们可以将z复制到在w分量上,所以管线中的perspective divide操作其实就是除以w.而w=z.这样我们就得到矩阵第4行的值.要还原投影点,perspective divide将$(x_p,y_p,z_p)$分别除以z(z=w).得到的点为$(x_p/z,y_p/z,z_p/z,z)$, 请特别注意它们的下标!!要除的z是最原始点的z. 我们尝试构造第三行.
$$A,B,C,D$$
$$ left[ egin{array}{cccccccccccccc} frac{-2n}{r-l}&0&frac{l+r}{l-r}&0\ 0&frac{-2b}{t-b}&frac{b+t}{b-t}&0\ A&B&C&D\ 0&0&1&0\ end{array} ight]left[ egin{array}{cccccccccccccc} x\ y\ z\ 1\ end{array} ight]=left[ egin{array}{cccccccccccccc} x_{ndc_z} \ y_{ndc_z}\ z\ z\ end{array} ight] $$
$$
$$ Ax+By+Cz+D=z_{ndc}*z $$ 我们知道这个方程组,有两个解(要注意z值是在动态变化的)
$$ cases{ Ax+By+Cn+D=-1_n \ Ax+By+Cf+D= 1_f } $$ 不妨令$A=B=0$,使其与$x,y$无关,解以下方程组 $$ cases{ Cn+D=-n Cf+D=f }=>cases{C=frac{f+n}{f-n}\ D=frac{2fn}{f-n}} $$ 到此,我们求得投影变化矩阵为
$$ left[ egin{array}{cccccccccccccc} frac{-2n}{r-l}&0&frac{l+r}{l-r}&0\ 0&frac{-2b}{t-b}&frac{b+t}{b-t}&0\ 0&0&frac{f+n}{f-n}&frac{2fn}{f-n}\ 0&0&1&0\ end{array} ight] $$
frustum 2
frustum 1 介绍的方法,需要6参数.而且不太直观.下面介绍另一种常见的构造投影变换的方法. 不管用什么方法,只要参数能够确定唯一的一个frustum.就行. 我们先看一张网上淘来的图..
fov=field of view.视野,我们假定它为相机上平面与下平面的夹角$ heta$.
near,跟 far 就很显然了. 我们还需要一个参数.那就是近平面的宽高比值记作ar(aspect ratio).
好了.参数有了. $ heta$,ar,n,f, 下面求矩阵 因为$z_{ndc}$的投影变换只与n,f有关,上面frustum 1中已经有公式.不再赘述. 比如先求$y_{ndc}$,我们垂直从+x看到-x.很容易得到如下公式 $$ frac{y_p}{n}=frac{y}{z} => y_p=frac{y}{z}dot{}n $$ 再将y映射到$y_{ndc}$: $$ frac{y_{ndc}-(-1)}{2}=frac{y_p-b}{tan hetadot{}n} $$ 而其中 $$ b=-tanfrac{ heta}{2}dot{}n $$ 解方程得到: $$ y_{ndc}dot{}z=frac{y}{tanfrac{ heta}{2}} $$ 同理得到 $$ x_{ndc}dot{}z=frac{x}{ardot{}tanfrac{ heta}{2}} $$ 后面的计算frustum 1里已经说过.组合一下上面的结果为:
$$ left[ egin{array}{cccccccccccccc} frac{1}{ardot{}tanfrac{ heta}{2}}&0&0&0\ 0&frac{1}{tanfrac{ heta}{2}}&0&0\ 0&0&frac{f+n}{f-n}&frac{2fn}{n-f}\ 0&0&1&0\ end{array} ight] $$