并查集 (Union-Find Sets)
并查集：(union-find sets)是一种简单的用途广泛的集合. 并查集是若干个不相交集合，能够实现较快的合并和判断元素所在集合的操作，应用很多。一般采取树形结构来存储并查集，并利用一个rank数组来存储集合的深度下界，在查找操作时进行路径压缩使后续的查找操作加速。这样优化实现的并查集，空间复杂度为O(N)，建立一个集合的时间复杂度为O(1)，N次合并M查找的时间复杂度为O(M Alpha(N))，这里Alpha是Ackerman函数的某个反函数，在很大的范围内（人类目前观测到的宇宙范围估算有10的80次方个原子，这小于前面所说的范围）这个函数的值可以看成是不大于4的，所以并查集的操作可以看作是线性的。它支持以下三中种操作:
－Union (Root1, Root2) //并操作；把子集合Root2并入集合Root1中.要求：Root1和 Root2互不相交,否则不执行操作.
－Find (x) //搜索操作；搜索单元素x所在的集合,并返回该集合的名字.
－UFSets (s) //构造函数。将并查集中s个元素初始化为s个只有一个单元素的子集合.
－对于并查集来说，每个集合用一棵树表示。
－集合中每个元素的元素名分别存放在树的结点中，此外，树的每一个结点还有一个指向其双亲结点的指针。
－设 S1= {0, 6, 7, 8 }，S2= { 1, 4, 9 }，S3= { 2, 3, 5 }
－为简化讨论，忽略实际的集合名，仅用表示集合的树的根来标识集合。
－为此，采用树的双亲表示作为集合存储表示。集合元素的编号从0到 n-1。其中 n 是最大元素个数。在双亲表示中，第 i 个数组元素代表包含集合元素 i 的树结点。根结点的双亲为-1，表示集合中的元素个数。为了区别双亲指针信息( ≥ 0 )，集合元素个数信息用负数表示。
下标
parent
集合S1, S2和S3的双亲表示:
S1 ∪ S2的可能的表示方法
const int DefaultSize = 10;
class UFSets { //并查集的类定义
private:
int *parent;
int size;
public:
UFSets ( int s = DefaultSize );
~UFSets ( ) { delete [ ] parent; }
UFSets & operator = ( UFSets const & Value );//集合赋值
void Union ( int Root1, int Root2 );
int Find ( int x );
void UnionByHeight ( int Root1, int Root2 ); };
UFSets::UFSets ( int s ) { //构造函数
size = s;
parent = new int [size+1];
for ( int i = 0; i <= size; i++ ) parent[i] = -1;
}
unsigned int UFSets::Find ( int x ) { //搜索操作
if ( parent[x] <= 0 ) return x;
else return Find ( parent[x] );
}
void UFSets::Union ( int Root1, int Root2 ) { //并
parent[Root2] = Root1; //Root2指向Root1
}
Find和Union操作性能不好。假设最初 n 个元素构成 n 棵树组成的森林，parent[i] = -1。做处理Union(0, 1), Union(1, 2), …, Union(n-2, n-1)后，将产生如图所示的退化的树。
执行一次Union操作所需时间是O(1)，n-1次Union操作所需时间是O(n)。若再执行Find(0), Find(1), …, Find(n-1), 若被
搜索的元素为i，完成Find(i)操作需要时间为O(i)，完成 n 次搜索需要的总时间将达到
Union操作的加权规则
为避免产生退化的树，改进方法是先判断两集合中元素的个数，如果以 i 为根的树中的结点个数少于以 j 为根的树中的结点个数，即parent[i] > parent[j]（parent[]<0），则让 j 成为 i 的双亲，否则，让i成为j的双亲。此即Union的加权规则。
parent[0](== -4) < parent[4] (== -3)
void UFSets::WeightedUnion(int Root1, int Root2) {
//按Union的加权规则改进的算法
int temp = parent[Root1] + parent[Root2];
if ( parent[Root2] < parent[Root1] ) {
parent[Root1] = Root2; //Root2中结点数多
parent[Root2] = temp; //Root1指向Root2
}
else {
parent[Root2] = Root1; //Root1中结点数多
parent[Root1] = temp; //Root2指向Root1
}
}
使用加权规则得到的树
下面是几到用并查集可以方便解决的问题:
题目： 亲戚(Relations)
或许你并不知道，你的某个朋友是你的亲戚。他可能是你的曾祖父的外公的女婿的外甥的表姐的孙子。如果能得到完整的家谱，判断两个人是否亲戚应该是可行的，但如果两个人的最近公共祖先与他们相隔好几代，使得家谱十分庞大，那么检验亲戚关系实非人力所能及.在这种情况下，最好的帮手就是计算机。
为了将问题简化，你将得到一些亲戚关系的信息，如同Marry和Tom是亲戚，Tom和B en是亲戚，等等。从这些信息中，你可以推出Marry和Ben是亲戚。请写一个程序，对于我们的关心的亲戚关系的提问，以最快的速度给出答案。
参考输入输出格式 输入由两部分组成。
第一部分以N，M开始。N为问题涉及的人的个数(1 ≤ N ≤ 20000)。这些人的编号为1,2,3,…,N。下面有M行(1 ≤ M ≤ 1000000)，每行有两个数ai, bi，表示已知ai和bi是亲戚.
第二部分以Q开始。以下Q行有Q个询问(1 ≤ Q ≤ 1 000 000)，每行为ci, di，表示询问ci和di是否为亲戚。
对于每个询问ci, di，若ci和di为亲戚，则输出Yes，否则输出No。
样例输入与输出
输入relation.in
10 7
2 4
5 7
1 3
8 9
1 2
5 6
2 3
3
3 4
7 10
8 9
输出relation.out
Yes
No
Yes
如果这道题目不用并查集，而只用链表或数组来存储集合，那么效率很低，肯定超时。
例程:
#include<iostream>
using namespace std;
int N,M,Q;
int pre[20000],rank[20000];
void makeset(int x)
{
pre[x]=-1;//开始都是根节点
rank[x]=0;//深度都为0
}
int find(int x)
{
int r=x;
while(pre[r]!=-1) r=pre[r];//类似递归的加速查找
while(x!=r)//统一把根节点置为r(统一集合名称)
{
int q=pre[x];
pre[x]=r;
x=q;
}
return r;
}
void unionone(int a,int b)
{
int t1=find(a);
int t2=find(b);
if(rank[t1]>rank[t2])//?
pre[t2]=t1;
else
pre[t1]=t2;
if(rank[t1]==rank[t2])
rank[t2]++;
}
int main()
{
int i,a,b,c,d;
while(cin>>N>>M)
{
for(i=1;i<=N;i++)
makeset(i);
for(i=1;i<=M;i++)
{
cin>>a>>b;
if(find(a)!=find(b))
unionone(a,b);
}
cin>>Q;
for(i=1;i<=Q;i++)
{
cin>>c>>d;
if(find(c)==find(d))
cout<<"YES"<<endl;
else
cout<<"NO"<<endl;
}
}
return 0;
}