abc 选做

abc231g

\(\frac{1}{n^k} \sum\frac{k!}{\prod b_i!} \prod (a_i+b_i)\)，其中 \(\sum b_i=k\)

构造生成函数 \(f_i=\sum \frac{a_i+j}{j!}x^j=e^x(a_i+x)\)，欲求式为 \(k![x^k]\prod f_i=k![x^k] e^{nx}\prod (a_i+x)\)

预处理 \(g_i\) 为任选 \(i\) 个乘积的和，原式为 \(\frac{1}{n^k} k!\sum\limits_{i=0}^n g_{n-i} n^{k-i} \frac{1}{(k-i)!}=\sum\limits_{i=0}^n g_{n-i} \frac{k^{\underline i}}{n^i}\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define inf 1e9
const int maxn=2e5+10;
const int mod=998244353;
inline int read(){
	int x=0,f=1;char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}
	return x*f;
}
const int N=2e3+5;
int n,k,a[N],dp[N][N],ans;
inline int ksm(int x,int y){
	int res=1;
	while(y){
		if(y&1)res=1ll*res*x%mod;
		x=1ll*x*x%mod;y>>=1;
	}return res;
}
int main(){
	n=read(),k=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read();
	dp[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=0;j<=i;j++)
			dp[i][j]=(dp[i-1][j]+1ll*a[i]*dp[i-1][j-1])%mod;
	int K=ksm(n,mod-2);
	for(int i=0,k1=1,k2=1;i<=n;i++){
		ans=(ans+1ll*dp[n][n-i]*k1%mod*k2)%mod;
		k1=1ll*k1*K%mod;k2=1ll*k2*(k-i)%mod;
	}printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

abc134f

设 \(dp_{i,j,k}\) 为到第 \(i\) 个，有 \(j\) 个未匹配，权值为 \(k\) 的方案数。分五种情况讨论转移即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define inf 1e9
const int maxn=2e5+10;
const int mod=1e9+7;
inline int read(){
	int x=0,f=1;char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}
	return x*f;
}
const int N=55;
int n,K,dp[N][N][2*N*N];
inline void add(int &x,int y){x=(x+y>=mod?x+y-mod:x+y);}
int main(){
	n=read(),K=read();
	dp[0][0][n*n]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=0;j<=i;j++)
			for(int k=0;k<=2*n*n;k++){
				dp[i][j][k]=dp[i-1][j][k];
				if(k>=i+i)add(dp[i][j][k],1ll*(j+1)*(j+1)*dp[i-1][j+1][k-i-i]%mod);
				if(j)add(dp[i][j][k],1ll*j*dp[i-1][j][k]%mod);
				if(j)add(dp[i][j][k],1ll*j*dp[i-1][j][k]%mod);
				if(j&&k+i+i<=2*n*n)add(dp[i][j][k],dp[i-1][j-1][k+i+i]);
			}
	printf("%d\n",dp[n][0][n*n+K]);
    return 0;
}

abc240g

瞎扯：尝试考虑 \(2d\) 的情况，发现我也不大会，自闭了。

正解：其实是一个很经典的 trick 啊，把坐标轴倾斜，即 \((x,y)\to (x+y,x-y)\) 这时发现每一步 \(x,y\) 轴独立了，两个组合数即可。三维就枚举一维。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define inf 1e9
const int maxn=2e7+10;
const int mod=998244353;
inline int read(){
	int x=0,f=1;char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}
	return x*f;
}
int n,X,Y,Z,fac[maxn],ifc[maxn],ans;
inline int com(int x,int y){
	if(x<y||x<0||y<0)return 0;
	return 1ll*fac[x]*ifc[y]%mod*ifc[x-y]%mod;
}
inline int solve1
(int N,int x){
	if(x>N||(N-x)&1)return 0;
	return com(N,(N+x)/2);
}
inline int solve2(int N,int x,int y){
	return 1ll*solve1(N,x+y)*solve1(N,abs(x-y))%mod;
}
int main(){
	n=read();X=read(),Y=read(),Z=read();
	X=abs(X),Y=abs(Y),Z=abs(Z);
	fac[0]=ifc[0]=ifc[1]=1;
	for(int i=1;i<=n+n;i++)
		fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
	for(int i=2;i<=n+n;i++)
		ifc[i]=1ll*(mod-mod/i)*ifc[mod%i]%mod;
	for(int i=1;i<=n+n;i++)
		ifc[i]=1ll*ifc[i-1]*ifc[i]%mod;
	for(int x2=0;x2+x2+X<=n;x2++)
		ans=(ans+1ll*com(n,x2+x2+X)*com(x2+x2+X,x2)%mod*solve2(n-x2-x2-X,Y,Z))%mod;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}