Euclid算法

看了几天挑战编程的数论，颇有感触，尤其是欧几里得算法，特此记下笔记（毕竟书是借的）。   

整除：对于整数a和b, 若存在整数k使得a = bk, 则称b整除(divides)a（用b|a来表示）。b|a也可以说成b是a的约数，或者a是b的倍数（multiple）。

唯一分解定理：x能唯一的表示成它的素因数的乘积。

如果两个整数的最大公约数（greatest common divisor）（也称gcd）是1，称二者是互素（relatively prime）的。

Euclid算法：gcd（a，b）=gcd（b，a%b）

Euclid算法的证明：

1.如果b|a，则gcd（a，b）= b。因为如果b整除a，则存在整数k，使得a=bk，因此gcd（bk，b）=b。

2.如果存在整数t和r，使得a=bt+r，则gcd（a，b）=gcd（b，r）。因为gcd（a，b）=gcd（bt+r，b），由于bt是b所有约数的倍数，所以a和b的所有公约数都应该能整除r。

Euclid算法还能找出两个x和y，使得

　　　a*x+b*y=gcd(a,b)

求法：

我们知道gcd（a，b）=gcd（b，a'），其中a‘=a-b*floor（a/b)。根据数学归纳原理，假设我们已经找出整数x’和y‘，使得

　　　b*x'+a'*y'=gcd(a,b)

把a'的表达式带入上式，得到：

　　　b*x'+(a-b*floor(a/b))*y'=gcd(a,b)

联立得：

　　　a*x+b*y=b*x'+(a-b*floor(a/b))*y'

将等号右边整理下：

　　　a*x+b*y=a*y'+b*(x'-floor(a/b)*y')

得到

　　　x = y', y = x'-floor(a/b)*y'

由此我们得到了x和y的表达式。

算法边界的情况：

　　　a*1+0*0=gcd(a,0)

代码如下：

/* Find the gcd(p, q) and x,y such that p*x + q*y = gcd(p, q) */
//例如对于两个数34398和2132, 有34398*15+2132*(-242)=26
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

long gcd(long p, long q, long *x, long *y){
    long nx, ny, g;

    if(q > p) return (gcd(q, p, y, x));

    if(q == 0){
        *x = 1;
        *y = 0;
        return (p);
    }

    g = gcd(q, p%q, &nx, &ny);

    *x = ny;
    *y = (nx - (p/q)*ny);

    return g;
}

int main(){
    long p, q, x, y, g;
    p = 34398; q = 2132;
    g = gcd(p, q, &x, &y);

    printf("%ld*%ld+%ld*%ld=%ld\n", p, x, q, y, g);

    return 0;
}

 《算法竞赛入门经典——训练指南》上的代码（和上面一样，只是更简洁）：

void gcd(LL a, LL b, LL &d, LL &x, LL &y) {
    if(!b) { d = a; x = 1; y = 0; }
    else { gcd(b, a%b, d, y, x); y -= x*(a/b); }
}

d 代表 a 和 b 的最大公约数， 找出 x、y， 使得 ax+by=d。在此前提下 |x|+|y| 取最小值。

//2013-04-02 20:20:12

//2013-05-27 19:50:24 增加《训练指南》上的代码。