[复习]时间复杂度及计算

一个算法的复杂度通常由其时间复杂度和空间复杂度来表达。这里，主要复习下时间复杂度的概念及计算。

概念：时间复杂度即一个算法所需运算的次数随问题规模n变化的函数。

常见时间复杂度及对应复杂度关系：c < log2N < n < n * Log2N < n^2 < n^3 < 2^n < 3^n < n!

计算方法： 

根本上有二：计算一个语句的频度（执行次数）和时间复杂度。

1）快速求解方法：看循环层数及对应循环次数。

2）最本质的求解方法：计算出算法中所有语句的执行次数的和，其就是一个以n为变量的函数f(n)（一般情况下，算法的基本操作重复执行的次数是模块n的某一个函数f（n）；

一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例）。 

3）一个姑娘的总结（如何计算算法时间复杂度）：

在计算算法时间复杂度时有以下几个简单的程序分析法则:
1.对于一些简单的输入输出语句或赋值语句,近似认为需要O(1)时间
2.对于顺序结构,需要依次执行一系列语句所用的时间可采用大O下"求和法则"
    求和法则:是指若算法的2个部分时间复杂度分别为 T1(n)=O(f(n))和 T2(n)=O(g(n)),则          T1(n)+T2(n)=O(max(f(n), g(n)))
特别地,若T1(m)=O(f(m)), T2(n)=O(g(n)),则 T1(m)+T2(n)=O(f(m) + g(n))
3.对于选择结构,如if语句,它的主要时间耗费是在执行then字句或else字句所用的时间,需注意的是检验条件也需要O(1)时间
4.对于循环结构,循环语句的运行时间主要体现在多次迭代中执行循环体以及检验循环条件的时间耗费,一般可用大O下"乘法法则"

    乘法法则: 是指若算法的2个部分时间复杂度分别为 T1(n)=O(f(n))和 T2(n)=O(g(n)),则          T1*T2=O(f(n)*g(n))

5.对于复杂的算法,可以将它分成几个容易估算的部分,然后利用求和法则和乘法法则技术整个算法的时间复杂度

另外还有以下2个运算法则:

(1)   若g(n)=O(f(n)),则O(f(n))+ O(g(n))= O(f(n))

(2)   O(Cf(n)) = O(f(n)),其中C是一个正常数

可以用以上法则对下面程序段进行简单分析

①for (i=0; i<n; i++)

②    for (j=0; j<n; j++)

        {

③       c[i][j] = 0;

④       for (k=0; k<n; k++)

⑤           c[i][j]= c[i][j]+ a[i][k]* b[k][j];/ * T5(n) = O(1) */

        }

第①条与②③④⑤是循环嵌套T1(n)*T2(n)* (T3(n)+ T4(n)* T5(n))= O(n*n*n)即为整个算法的时间复杂度

O(1)<O(log2n)<O(n)<O(n log2 n)<O(n^2)<O(n^3)<O(2^n)