使用一阶微分对图像锐化

Using First-Order Derivatives for (Nonlinear)Image Sharpening ----The Gradient

对于函数ƒ(x,y), ƒ在坐标(x,y)处的梯度定义为二维列向量

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)

它指出了在位置(x,y)处ƒ的最大变化率的方向。

向量▽ƒ的幅度值(长度)表示为M(x,y)，即

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)

它是梯度向量方向变化率在(x,y)的值。当x,y允许在ƒ中的所有像素位置变化时，M(x,y)是与原图像大小相同的图像。通常该图像称为梯度图像(简称为梯度)。

在某些实现中，用绝对值来*似*方和*方根操作更合适计算

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　           

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3)

该表达式仍保留了灰度的相对变化，但是失去了各向同性特征。

gx,gy*似表示为

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(4)

这两个公式可以用以下两个模板实现，(a)中的模板实现的3x3图像区域的第三行和第一行的差*似x方向的微分，(b)模板中的第三列和第一列的差*似了y方向的微分。

-1	-2	-1
0	0	0
1	2	1

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  (a)

-1	0	1
-2	0	2
-1	0	1

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  (b)

附上我的MATLAB实现代码

%%%%%%%梯度锐化图像(sobel算子)%%%%%%%

Mask = 3;                                           %滤波器模板大小(3x3)

ImageDataTemp = imread('lena.jpg');                 %读取工程目录下的图片
ImageDataGray = rgb2gray(ImageDataTemp);            %转换为灰度图像
ImageResult = size(ImageDataGray);                  %存储处理后的图像
clear ImageDataTemp;                                %清除过程变量
Temp = padarray(ImageDataGray, [(Mask-1)/2 (Mask-1)/2]);    %扩展图像,防止算子模板覆盖在图像外
[j,k] = size(ImageDataGray);

SobelOperatorsX = [
                    -1 -2 -1    
                     0  0  0
                     1  2  1
                    ];
SobelOperatorsY = [
                    -1  0  1
                    -2  0  2
                    -1  0  1
                    ];
Part = zeros(3, 3, 'double');
for x = 2:j+1
    for y = 2:k+1
        Part = double(Temp(x - 1 : x + 1, y - 1 : y + 1));
        ImageResult(x - 1, y - 1) =  abs(sum(sum(times(Part,SobelOperatorsX)))) + abs(sum(sum(times(Part,SobelOperatorsY))));
    end
end
figure(1),imshow(ImageResult, []);
figure(2),imshow(ImageDataGray, []);

效果图：